Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
, para
reais quaisquer;
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos decidir se, para quaisquer números reais
e
, a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de desigualdades e propriedades dos números reais, especialmente envolvendo quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela afirma que se
é menor ou igual a
, então o quadrado de
também será menor ou igual ao quadrado de
. Em símbolos: se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos analisar diferentes casos para ver se essa afirmação sempre é verdadeira.
-
Caso 1:
e são números positivos. Se, então ao elevar ambos os lados ao quadrado, a desigualdade se mantém: . Isso porque o quadrado de um número positivo aumenta à medida que o número aumenta. -
Caso 2:
e são números negativos. Suponha quee ambos sejam negativos. Por exemplo, deixe e . Aqui, é verdadeiro. No entanto, ao elevar ao quadrado, temos e . Então, na verdade, , o que viola a afirmação original. -
Caso 3:
negativo e positivo. Sefor negativo e for positivo, por exemplo, e , então é verdadeiro. Calculando os quadrados: e . Aqui, também é verdadeiro.
Passo 4
Com base nos casos acima, vemos que a afirmação
nem sempre é verdadeira. No caso onde
e
são ambos negativos, a desigualdade original pode não se manter após elevar ao quadrado.
Resposta
Falsa. A afirmação não é verdadeira para todos os números reais. Por exemplo, se
e
, temos
mas
.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se
converge.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é divergente, então
é divergente.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! Se
, então
;