Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! , para reais quaisquer;

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos decidir se, para quaisquer números reais e , a afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de desigualdades e propriedades dos números reais, especialmente envolvendo quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela afirma que se é menor ou igual a , então o quadrado de também será menor ou igual ao quadrado de . Em símbolos: se , então .

Passo 3

Agora, vamos analisar diferentes casos para ver se essa afirmação sempre é verdadeira.
  1. Caso 1: e são números positivos.
    Se , então ao elevar ambos os lados ao quadrado, a desigualdade se mantém: . Isso porque o quadrado de um número positivo aumenta à medida que o número aumenta.
  2. Caso 2: e são números negativos.
    Suponha que e ambos sejam negativos. Por exemplo, deixe e . Aqui, é verdadeiro. No entanto, ao elevar ao quadrado, temos e . Então, na verdade, , o que viola a afirmação original.
  3. Caso 3: negativo e positivo.
    Se for negativo e for positivo, por exemplo, e , então é verdadeiro. Calculando os quadrados: e . Aqui, também é verdadeiro.

Passo 4

Com base nos casos acima, vemos que a afirmação nem sempre é verdadeira. No caso onde e são ambos negativos, a desigualdade original pode não se manter após elevar ao quadrado.

Resposta

Falsa. A afirmação não é verdadeira para todos os números reais. Por exemplo, se e , temos mas .

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