Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se sum an é divergente, então sum|an| é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação “Se a série sum an é divergente, então a série sum|an| também é divergente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries numéricas, convergência, divergência e a relação entre uma série e sua série de valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser divergente. Uma série sum an é divergente quando a soma dos seus termos não se aproxima de um valor finito, ou seja, ela cresce sem limites ou não tem um comportamento estável.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a série de valores absolutos sum|an|. Essa série soma os valores absolutos dos termos da série original. Se a série de valores absolutos converge (tem uma soma finita), dizemos que a série original converge absolutamente. Se a série original converge, mas a série de valores absolutos não, dizemos que ela converge condicionalmente.

Passo 4

A relação importante aqui é que se a série de valores absolutos sum|an| converge, então a série original sum an também converge. Mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Agora, se a série original sum an é divergente, isso significa que ela não está convergindo de forma alguma. Portanto, a série de valores absolutos sum|an| também não pode estar convergindo, caso contrário, a série original teria que convergir absolutamente, o que contradiz a premissa de que ela é divergente.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se a série sum an é divergente, então a série sum|an| também é divergente.

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