Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é divergente, então
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a afirmação “Se a série
é divergente, então a série
também é divergente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries numéricas, convergência, divergência e a relação entre uma série e sua série de valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser divergente. Uma série
é divergente quando a soma dos seus termos não se aproxima de um valor finito, ou seja, ela cresce sem limites ou não tem um comportamento estável.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a série de valores absolutos
. Essa série soma os valores absolutos dos termos da série original. Se a série de valores absolutos converge (tem uma soma finita), dizemos que a série original converge absolutamente. Se a série original converge, mas a série de valores absolutos não, dizemos que ela converge condicionalmente.
Passo 4
A relação importante aqui é que se a série de valores absolutos
converge, então a série original
também converge. Mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Agora, se a série original
é divergente, isso significa que ela não está convergindo de forma alguma. Portanto, a série de valores absolutos
também não pode estar convergindo, caso contrário, a série original teria que convergir absolutamente, o que contradiz a premissa de que ela é divergente.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se a série
é divergente, então a série
também é divergente.
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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
, para
reais quaisquer;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! Se
, então
;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.