Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a definição da constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série infinita. É basicamente a soma de infinitos termos, e para certas séries, a gente consegue encontrar um valor que elas convergem, ou seja, para o qual a soma se aproxima conforme adicionamos mais termos.
Passo 3
A constante
é uma das mais importantes nas matemáticas e é aproximadamente igual a 2,71828. Uma das formas de representar
é através da série infinita:
Isso significa que se a gente somar
, a soma vai se aproximar de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série dada na questão:
Perceba que ela é muito parecida com a série do
, mas com um sinal alternado devido ao
. Isso significa que os termos vão alternando entre positivo e negativo.
Passo 5
Sabemos que a série
é, na verdade, a expansão da função exponencial
. Isso porque, substituindo
na série de Taylor de
, temos:
E como
, a igualdade proposta na questão está correta.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A série
converge para
.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se
converge.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
e
divergir, então
diverge.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
, para
reais quaisquer;
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é divergente, então
é divergente.