Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. sumn=0^infty (-1^n)n!=1e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e a definição da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série infinita. É basicamente a soma de infinitos termos, e para certas séries, a gente consegue encontrar um valor que elas convergem, ou seja, para o qual a soma se aproxima conforme adicionamos mais termos.

Passo 3

A constante e = sumn=0^infty 1n! é uma das mais importantes nas matemáticas e é aproximadamente igual a 2,71828. Uma das formas de representar é através da série infinita:
Isso significa que se a gente somar , a soma vai se aproximar de .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série dada na questão:
sumn=0^infty (-1)^nn!
Perceba que ela é muito parecida com a série do , mas com um sinal alternado devido ao . Isso significa que os termos vão alternando entre positivo e negativo.

Passo 5

Sabemos que a série e^-1 = sumn=0^infty (-1)^nn! é, na verdade, a expansão da função exponencial . Isso porque, substituindo na série de Taylor de , temos:
E como , a igualdade proposta na questão está correta.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série converge para .

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