Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se sum 1n^3 converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente verificar se a afirmação “O Teste da razão pode ser usado para determinar se sum 1n^3 converge” é verdadeira ou falsa. Vamos precisar usar o conteúdo sobre séries infinitas e, mais especificamente, entender como funciona o Teste da razão para ver se ele serve nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da razão. Esse teste, também conhecido como Teste de D’Alembert, ajuda a gente a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é a seguinte:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não dá uma resposta clara, ou seja, ele é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste na série que a gente tem: sum 1n^3. Aqui, o termo geral an é 1n^3. Então, o termo seguinte an+1 será 1(n+1)^3. Vamos calcular a razão entre esses termos:
an+1an = 1(n+1)^31n^3 = ( nn+1 )^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty ( nn+1 )^3 = ( limn to infty nn+1 )^3 = ( limn to infty 11 + 1n )^3 = 1^3 = 1

Passo 5

Olhando o resultado, vemos que L = 1. Segundo o Teste da razão, quando L = 1, o teste não consegue nos dizer se a série converge ou diverge. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa. O Teste da razão não pode ser usado para determinar se sum 1n^3 converge, porque o limite calculado é igual a 1, tornando o teste inconclusivo.

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