Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. O Teste da razão pode ser usado para determinar se converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente verificar se a afirmação “O Teste da razão pode ser usado para determinar se converge” é verdadeira ou falsa. Vamos precisar usar o conteúdo sobre séries infinitas e, mais especificamente, entender como funciona o Teste da razão para ver se ele serve nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da razão. Esse teste, também conhecido como Teste de D’Alembert, ajuda a gente a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é a seguinte:
Onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não dá uma resposta clara, ou seja, ele é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste na série que a gente tem: . Aqui, o termo geral é . Então, o termo seguinte será . Vamos calcular a razão entre esses termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Passo 5
Olhando o resultado, vemos que . Segundo o Teste da razão, quando , o teste não consegue nos dizer se a série converge ou diverge. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso.
Resposta
A afirmação é falsa. O Teste da razão não pode ser usado para determinar se converge, porque o limite calculado é igual a 1, tornando o teste inconclusivo.