Sabendo-se que u cdot v=2,|u|=3 e |v|=5, calcule:
(a) (3 u) cdot(-2 v);
(b) (5 v-2 u) cdot(-5 u+v);
© |2 u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produtos escalares com vetores! Primeiro, a gente tem que entender que a matéria envolve produtos escalares e módulos de vetores. Vamos precisar das informações que foram dadas:
  • Produto escalar: u cdot v = 2
  • Módulo de u: |u| = 3
  • Módulo de v| = 5
Vamos resolver as partes (a), (b) e © uma por uma.

Parte (a): (3 u) cdot (-2 v)

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar é distributivo em relação à multiplicação por escalar. Ou seja, (au) cdot (bv) = a cdot b cdot (u cdot v).
Aqui, temos a = 3 e b = -2.

Passo 3

Aplicando a regra:
(3 u) cdot (-2 v) = 3 cdot (-2) cdot (u cdot v)

Passo 4

Sabemos que u cdot v = 2, então substituímos:
3 cdot (-2) cdot 2 = 3 cdot (-4) = -12

Passo 5

Para essa parte, vamos expandir o produto escalar usando a distributividade. Ou seja, (a + b) cdot (c + d) = acdotc + acdotd + bcdotc + bcdotd.

Passo 6

Aplicando isso na expressão:
(5 v - 2 u) cdot (-5 u + v) = 5v cdot (-5u) + 5v cdot v - 2u cdot (-5u) - 2u cdot v

Passo 7

Agora, vamos calcular cada um desses termos separadamente:
  1. 5v cdot (-5u) = 5 cdot (-5) cdot (v cdot u) = -25 cdot 2 = -50
  2. 5v cdot v = 5 cdot |v|^2 = 5 cdot 5^2 = 5 cdot 25 = 125
  3. -2u cdot (-5u) = -2 cdot (-5) cdot |u|^2 = 10 cdot 3^2 = 10 cdot 9 = 90
  4. -2u cdot v = -2 cdot (u cdot v) = -2 cdot 2 = -4

Passo 8

Somando todos os termos:
-50 + 125 + 90 - 4 = 161

Passo 9

Aqui, queremos encontrar o módulo de um vetor resultante. A fórmula para o módulo de um vetor a é |a| = raiza cdot a. Então, vamos primeiro calcular 2u - v e depois encontrar seu módulo.

Passo 10

Primeiro, vamos calcular o produto escalar (2u - v) cdot (2u - v):
(2u - v) cdot (2u - v) = 2u cdot 2u - 2u cdot v - v cdot 2u + v cdot v

Passo 11

Calculando cada termo:
  1. 2u cdot 2u = 4|u|^2 = 4 cdot 3^2 = 4 cdot 9 = 36
  2. -2u cdot v = -2 cdot (u cdot v) = -2 cdot 2 = -4
  3. -v cdot 2u = -2 cdot (v cdot u) = -2 cdot 2 = -4
  4. v cdot v = |v|^2 = 5^2 = 25

Passo 12

Somando todos os termos:
36 - 4 - 4 + 25 = 53

Passo 13

Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar o módulo:
|2u - v| = raiz53

Resposta

© |2 u - v| = raiz53

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