Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© ( ) Se
, para alguma matriz
inversível, então
.
© ( ) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
, para alguma matriz
inversível, então
.”
Aqui, estamos tratando de teoria de matrizes, especificamente de transformações semelhantes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta em transformações desse tipo.
Aqui, estamos tratando de teoria de matrizes, especificamente de transformações semelhantes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta em transformações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
é uma matriz inversível, o que significa que existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
:
Passo 4
Usamos a propriedade dos determinantes que diz que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
Passo 5
Sabemos que
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação do Passo 4:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
para uma matriz inversível
, então
.