Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© ( ) Se B=P^-1 A P, para alguma matriz P inversível, então det B=det A.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se , para alguma matriz inversível, então .”
Aqui, estamos tratando de teoria de matrizes, especificamente de transformações semelhantes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta em transformações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que é uma matriz inversível, o que significa que existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det B = det(P^-1 A P) :

Passo 4

Usamos a propriedade dos determinantes que diz que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
det(P^-1 A P) = det(P^-1) cdot det(A) cdot det(P)

Passo 5

Sabemos que det(P^-1) cdot det(P) = 1det P cdot det P = 1 . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação do Passo 4:
det B = 1 cdot det A = det A

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se para uma matriz inversível , então .

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