Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um conjunto de vetores:
, e precisamos verificar se eles são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que vetores sejam linearmente independentes ou dependentes.
-
Linearmente Independentes (LI): Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se nenhuma das combinações lineares dos vetores resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
-
Linearmente Dependentes (LD): Um conjunto de vetores é considerado linearmente dependente se pelo menos um vetor puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.
Passo 3
Como temos três vetores no espaço
, que é um espaço de duas dimensões, podemos usar um fato importante: No espaço
, não é possível ter mais do que
vetores linearmente independentes.
Aqui,
, então qualquer conjunto com mais de 2 vetores em
será automaticamente linearmente dependente.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos tentar expressar um dos vetores como uma combinação dos outros dois. Vamos ver se conseguimos escrever o vetor
como uma combinação de
e
.
Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na equação
:
Passo 6
Encontramos que
e
. Portanto:
Isso mostra que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
Os vetores
são Linearmente Dependentes (LD).