Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(1,2),(3,5),(2,1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um conjunto de vetores: (1,2), (3,5), (2,1), e precisamos verificar se eles são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que vetores sejam linearmente independentes ou dependentes.
  • Linearmente Independentes (LI): Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se nenhuma das combinações lineares dos vetores resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
  • Linearmente Dependentes (LD): Um conjunto de vetores é considerado linearmente dependente se pelo menos um vetor puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.

Passo 3

Como temos três vetores no espaço R^2, que é um espaço de duas dimensões, podemos usar um fato importante: No espaço R^n, não é possível ter mais do que n vetores linearmente independentes.
Aqui, n = 2, então qualquer conjunto com mais de 2 vetores em R^2 será automaticamente linearmente dependente.

Passo 4

Para confirmar isso, podemos tentar expressar um dos vetores como uma combinação dos outros dois. Vamos ver se conseguimos escrever o vetor (2,1) como uma combinação de (1,2) e (3,5).
Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
a cdot (1,2) + b cdot (3,5) = (2,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
1a + 3b = 2 2a + 5b = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: a = 2 - 3b
Substituindo na segunda equação:
2(2 - 3b) + 5b = 1
4 - 6b + 5b = 1
4 - b = 1
b = 3
Agora, substituindo b = 3 na equação a = 2 - 3b:
a = 2 - 9 = -7

Passo 6

Encontramos que a = -7 e b = 3. Portanto:
-7 cdot (1,2) + 3 cdot (3,5) = (-7 + 9, -14 + 15) = (2,1)
Isso mostra que o vetor (2,1) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,2) e (3,5).

Resposta

Os vetores (1,2), (3,5), (2,1) são Linearmente Dependentes (LD).

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