Esboce os gráficos das funções a seguir:
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Passo 1
Então, a gente tem a função
e a tarefa é esboçar o gráfico dessa função. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o formato dessa função e como ela se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. A função
é uma paraboloide, que é uma superfície de segundo grau.
Passo 3
Agora, vamos ver qual é a orientação dessa paraboloide. Como os termos
e
têm coeficientes negativos, isso significa que a paraboloide abre para baixo. Se os coeficientes fossem positivos, ela abriria para cima.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vértice da paraboloide, que é o ponto mais alto nesse caso, já que ela abre para baixo. Para encontrar o vértice, igualamos
e
a zero:
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 5
Vamos também identificar o plano de corte onde
para entender até onde a paraboloide se estende. Resolvendo para
:
Isso representa um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Desenhe o vértice no ponto
. - Trace a paraboloide que desce simetricamente a partir do vértice, abrindo para baixo.
- No plano
, desenhe o círculo com raio 3 para indicar onde a paraboloide intercepta esse plano.
Resposta
O gráfico da função
é uma paraboloide que abre para baixo, com o vértice no ponto
e interceptando o plano
em um círculo de raio 3.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano
.
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Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em
:
Decida em cada caso se
existe:
e
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Decida em cada caso se
existe:
e
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