Esboce os gráficos das funções a seguir:
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Passo 1

Então, a gente tem a função e a tarefa é esboçar o gráfico dessa função. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o formato dessa função e como ela se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície essa função representa. A função é uma paraboloide, que é uma superfície de segundo grau.

Passo 3

Agora, vamos ver qual é a orientação dessa paraboloide. Como os termos e têm coeficientes negativos, isso significa que a paraboloide abre para baixo. Se os coeficientes fossem positivos, ela abriria para cima.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vértice da paraboloide, que é o ponto mais alto nesse caso, já que ela abre para baixo. Para encontrar o vértice, igualamos e a zero:
Então, o vértice está no ponto .

Passo 5

Vamos também identificar o plano de corte onde para entender até onde a paraboloide se estende. Resolvendo para :
Isso representa um círculo de raio 3 no plano .

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o vértice no ponto .
  2. Trace a paraboloide que desce simetricamente a partir do vértice, abrindo para baixo.
  3. No plano , desenhe o círculo com raio 3 para indicar onde a paraboloide intercepta esse plano.

Resposta

O gráfico da função é uma paraboloide que abre para baixo, com o vértice no ponto e interceptando o plano em um círculo de raio 3.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule o domínio natural de definição das funções, esboçando-o no plano .
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Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis em :
Decida em cada caso se existe:
e ;
Decida em cada caso se existe:
e ;