Resolva pelo método da variação dos parâmetros. Resp. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma , onde:
Vamos resolver esse sistema usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada () e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .
Passo 3
Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante:
As soluções são e .
Passo 4
Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é .
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é .
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso resulta em um sistema de equações para e .
Passo 7
Para simplificar, usamos a matriz fundamental formada pelos vetores próprios:
Calculamos a matriz inversa e multiplicamos pelo vetor :