Resolva
pelo método da variação dos parâmetros. Resp.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma
, onde:
Vamos resolver esse sistema usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada (
) e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
.
Passo 3
Calculamos os valores próprios
resolvendo o determinante:
As soluções são
e
.
Passo 4
Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvendo, obtemos
. Então, um vetor próprio é
.
Para
:
Resolvendo, obtemos
. Então, um vetor próprio é
.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso resulta em um sistema de equações para
e
.
Passo 7
Para simplificar, usamos a matriz fundamental
formada pelos vetores próprios:
Calculamos a matriz inversa
e multiplicamos pelo vetor
:
Passo 8
Integrando, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.