Resolva pelo método da variação dos parâmetros. Resp. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma , onde:
Vamos resolver esse sistema usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada ( ) e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 3

Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante:
As soluções são e .

Passo 4

Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é .
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é .

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso resulta em um sistema de equações para e .

Passo 7

Para simplificar, usamos a matriz fundamental formada pelos vetores próprios:
Calculamos a matriz inversa e multiplicamos pelo vetor :

Passo 8

Integrando, obtemos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Determine a solução geral para o sistema . Resp.
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