Resolva X^prime=[cc-4 & 2 2 & -1] X+[ct^-1 4+2 t^-1] pelo método da variação dos parâmetros. Resp. X=c1[l1 2]+c2[c-2 1] e^-5 t+[cln |t|+85 t-825 2 ln |t|+165 t+425].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma A = -4 & 2 2 & -1 e B = t^-1 4 + 2 t^-1 , onde:
Vamos resolver esse sistema usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada ( ) e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 3

Calculamos os valores próprios det(A - lambda I) = 0 resolvendo o determinante:
det( -4 - lambda & 2 2 & -1 - lambda ) = (-4 - lambda)(-1 - lambda) - (2)(2) = lambda^2 + 5lambda = 0
As soluções são e .

Passo 4

Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para (A - 0I)X = 0 Rightarrow -4 & 2 2 & -1 x y = 0 0 :
1 2
Resolvendo, obtemos (A + 5I)X = 0 Rightarrow 1 & 2 2 & 4 x y = 0 0 . Então, um vetor próprio é -2 1 .
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é .

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios:
Xh = c1 1 2 + c2 -2 1 e^-5t
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular Xp = u1(t) u2(t) para a equação completa Xp' = u1' u2' usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
u1' u2' = A u1 u2 + t^-1 4 + 2 t^-1
Derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso resulta em um sistema de equações para e .

Passo 7

Para simplificar, usamos a matriz fundamental Phi(t) = 1 & -2 e^-5t 2 & e^-5t formada pelos vetores próprios:
Phi^-1(t) B = e^-5t5 & 2 e^-5t5 25 & 15 t^-1 4 + 2 t^-1
Calculamos a matriz inversa e multiplicamos pelo vetor :

Passo 8

Integrando, obtemos:
integral Phi^-1(t) B , dt = ln|t| + 85t - 825 2 ln|t| + 165t + 425
Portanto, a solução particular é:
Xp = ln|t| + 85t - 825 2 ln|t| + 165t + 425

Resposta

A solução geral do sistema é:
X = c11 2 + c2-2 1 e^-5 t + ln |t| + 85 t - 825 2 ln |t| + 165 t + 425
onde e são constantes arbitrárias.

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