Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre independência linear de vetores no espaço tridimensional, . A gente vai verificar se os vetores , e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Se forem dependentes, a gente também vai encontrar uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Três vetores são l.i. se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.
Para verificar isso, vamos montar uma equação:
Isso significa:
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente:
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais, então na verdade temos apenas duas equações distintas.
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeira equação:
Segunda equação:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
Passo 5
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor na equação (1):
Passo 6
Então, os coeficientes são expressos em termos de :
Isso significa que existe uma infinidade de soluções, dependendo do valor que escolhemos para . O importante é que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes (, , ) não é zero.
Passo 7
Vamos escolher para simplificar. Então:
Portanto, temos a combinação linear:
Resposta
Os vetores , e são linearmente dependentes. Uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo é: