Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre independência linear de vetores no espaço tridimensional, . A gente vai verificar se os vetores , e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Se forem dependentes, a gente também vai encontrar uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Três vetores são l.i. se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.
Para verificar isso, vamos montar uma equação:
Isso significa:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente:
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais, então na verdade temos apenas duas equações distintas.

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeira equação:
Segunda equação:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2):

Passo 5

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor na equação (1):

Passo 6

Então, os coeficientes são expressos em termos de :
Isso significa que existe uma infinidade de soluções, dependendo do valor que escolhemos para . O importante é que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes ( , , ) não é zero.

Passo 7

Vamos escolher para simplificar. Então:
Portanto, temos a combinação linear:

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes. Uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo é:

Exercícios relacionados

Para quais vetores , os sistemas lineares tem solução:
а)
Sejam dada por dada por dada por e dada por . Determine, se possível:
(g)
Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.