Para quais vetores b=(b1, b2, b3), os sistemas lineares tem solução:
b) (cc1 & 4 2 & 9 -1 & -4)binomx1x2=(lb1 b2 b3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz:

[
1 & 4 2 & 9 -1 & -4 x1 x2 = b1 b2 b3


]
O objetivo aqui é descobrir para quais vetores esse sistema tem solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e sistemas lineares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um sistema de equações tem solução se o vetor 1 2 -1 e 4 9 -4 estiver no espaço gerado pelas colunas da matriz dos coeficientes. Nesse caso, as colunas são:
b = x1 1 2 -1 + x2 4 9 -4
Então, queremos que seja uma combinação linear dessas duas colunas. Ou seja, existem valores de e que satisfaçam:

Passo 3

Para garantir que essa combinação linear exista, precisamos que o vetor det 1 & 4 2 & 9 = (1)(9) - (4)(2) = 9 - 8 = 1 neq 0 pertença ao espaço coluna da matriz. Isso significa que as colunas devem ser linearmente independentes. Vamos verificar isso calculando o determinante da matriz formada por essas colunas:
Como o determinante não é zero, as colunas são linearmente independentes, e elas geram um espaço bidimensional no .

Passo 4

Agora, para que o sistema tenha solução, o vetor x1 + 4x2 = b1 2x1 + 9x2 = b2 - x1 - 4x2 = b3 deve satisfazer uma condição de consistência. Isso significa que deve estar no plano definido pelas combinações lineares das duas colunas. Podemos escrever isso como:
Observamos que a terceira equação deve ser uma combinação das duas primeiras para que o sistema seja consistente.

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para 2(b1 - 4x2) + 9x2 = b2 2b1 - 8x2 + 9x2 = b2 2b1 + x2 = b2 x2 = b2 - 2b1 e x1 = b1 - 4(b2 - 2b1) = b1 - 4b2 + 8b1 = 9b1 - 4b2 :
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos - x1 - 4x2 = b3 e - (9b1 - 4b2) - 4(b2 - 2b1) = b3 -9b1 + 4b2 - 4b2 + 8b1 = b3 (-9b1 + 8b1) + (4b2 - 4b2) = b3 - b1 = b3 em termos de e , vamos verificar a terceira equação:
Substituindo:

Resposta

Portanto, o sistema terá solução se e somente se b = (b1, b2, -b1) . Assim, os vetores que satisfazem essa condição são aqueles em que o terceiro componente é o negativo do primeiro, ou seja:

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