Para quais vetores b=(b1, b2, b3), os sistemas lineares tem solução:
а) (ccc1 & 4 & 2 2 & 8 & 4 -1 & -4 & -2)(lx1 x2 x3)=(lb1 b2 b3)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz de coeficientes e um vetor . A pergunta é: para quais vetores esse sistema possui solução? Para resolver isso, vamos precisar conhecer sistemas lineares e entender como determinar se um sistema tem solução ou não usando métodos de álgebra linear, como a redução de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
1x1 + 4x2 + 2x3 = b1 2x1 + 8x2 + 4x3 = b2 -1x1 - 4x2 - 2x3 = b3
Para resolver esse sistema, vamos montar a matriz aumentada, que combina a matriz de coeficientes com o vetor [ccc|c 1 & 4 & 2 & b1 2 & 8 & 4 & b2 -1 & -4 & -2 & b3 ] :

Passo 3

Agora, vamos aplicar eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e descobrir as condições para que o sistema tenha solução. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma mais simples, onde possamos ver se existe uma solução consistente.
Primeiro, vamos eliminar o 2 - 2 times 1 = 0 8 - 2 times 4 = 0 4 - 2 times 2 = 0 b2 - 2 times b1 = b2 - 2b1 das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
-1 + 1 = 0 -4 + 4 = 0 -2 + 2 = 0 b3 + b1 = b3 + b1
  • Some a primeira linha à terceira linha:
[ccc|c 1 & 4 & 2 & b1 0 & 0 & 0 & b2 - 2b1 0 & 0 & 0 & b3 + b1 ]
A matriz fica assim:

Passo 4

Para que o sistema tenha solução, as linhas que ficaram com todos os coeficientes zero não podem ter um termo constante diferente de zero. Ou seja:
b2 - 2b1 = 0 b3 + b1 = 0
Isso nos dá duas equações:

Resposta

O sistema linear tem solução se e somente se e . Portanto, para vetores , o sistema possui solução.

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