Para quais vetores , os sistemas lineares tem solução:
а)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz de coeficientes e um vetor . A pergunta é: para quais vetores esse sistema possui solução? Para resolver isso, vamos precisar conhecer sistemas lineares e entender como determinar se um sistema tem solução ou não usando métodos de álgebra linear, como a redução de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Para resolver esse sistema, vamos montar a matriz aumentada, que combina a matriz de coeficientes com o vetor :
Passo 3
Agora, vamos aplicar eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e descobrir as condições para que o sistema tenha solução. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma mais simples, onde possamos ver se existe uma solução consistente.
Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Some a primeira linha à terceira linha:
A matriz fica assim:
Passo 4
Para que o sistema tenha solução, as linhas que ficaram com todos os coeficientes zero não podem ter um termo constante diferente de zero. Ou seja:
Isso nos dá duas equações:
Resposta
O sistema linear tem solução se e somente se e . Portanto, para vetores , o sistema possui solução.