Uma matriz quadrada A=(ai j) é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se ai j=aj i (respectivamente, ai j=-aj i ) para quaisquer i, j.
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar exemplos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica ou anti-simétrica e então criar alguns exemplos práticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada S = 2 & 3 & 4 3 & 5 & 6 4 & 6 & 8 é simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao elemento . Ou seja, a matriz é igual à sua transposta.
Por exemplo, considere a seguinte matriz :
Aqui, você pode ver que , e . Portanto, é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes anti-simétricas. Uma matriz quadrada T = 0 & 2 & -1 -2 & 0 & 3 1 & -3 & 0 é anti-simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao negativo de . Ou seja, .
Também, uma propriedade importante das matrizes anti-simétricas é que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque implica .
Vamos ver um exemplo:
Aqui, , e . Além disso, todos os elementos da diagonal principal são zero. Portanto, é anti-simétrica.

Resposta

Então, um exemplo de matriz simétrica é:
S = 2 & 3 & 4 3 & 5 & 6 4 & 6 & 8
E um exemplo de matriz anti-simétrica é:
T = 0 & 2 & -1 -2 & 0 & 3 1 & -3 & 0

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