Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar exemplos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica ou anti-simétrica e então criar alguns exemplos práticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao elemento . Ou seja, a matriz é igual à sua transposta.
Por exemplo, considere a seguinte matriz :
Aqui, você pode ver que , e . Portanto, é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes anti-simétricas. Uma matriz quadrada é anti-simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao negativo de . Ou seja, .
Também, uma propriedade importante das matrizes anti-simétricas é que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque implica .
Vamos ver um exemplo:
Aqui, , e . Além disso, todos os elementos da diagonal principal são zero. Portanto, é anti-simétrica.

Resposta

Então, um exemplo de matriz simétrica é:
E um exemplo de matriz anti-simétrica é:

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Sejam dada por dada por dada por e dada por . Determine, se possível:
(g)
Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
e .
Sejam e bases do . Determine , sabendo que :
Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) é um subes-paço vetorial do espaço das matrizes de quadradas de ordem .