Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar exemplos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica ou anti-simétrica e então criar alguns exemplos práticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao elemento . Ou seja, a matriz é igual à sua transposta.
Por exemplo, considere a seguinte matriz :
Aqui, você pode ver que , e . Portanto, é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes anti-simétricas. Uma matriz quadrada é anti-simétrica se, para qualquer posição , o elemento é igual ao negativo de . Ou seja, .
Também, uma propriedade importante das matrizes anti-simétricas é que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque implica .
Vamos ver um exemplo:
Aqui, , e . Além disso, todos os elementos da diagonal principal são zero. Portanto, é anti-simétrica.