Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se os vetores , , e em são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.). A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, com coeficientes que não sejam todos zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Se não existe nenhuma combinação dos vetores que dê o vetor nulo, a gente diz que eles são linearmente independentes. Mas se rolar uma combinação onde isso acontece, então são linearmente dependentes.
Passo 3
Como estamos trabalhando em e temos 4 vetores, já sabemos que não dá pra eles serem todos independentes, porque em o máximo de vetores independentes é 3. Portanto, pelo menos um deles está na mistura de combinação linear dos outros.
Passo 4
Vamos montar uma equação para encontrar os coeficientes tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de que não sejam todos zero.
Passo 6
Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos simplificar aqui:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Da equação (II):
Substituindo na equação (I):
Agora, já temos e em termos de . Lembrando que :
Passo 7
Podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, a combinação linear fica:
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes. Uma combinação linear nula com coeficientes não todos zero é: