Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se os vetores , , e em são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.). A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, com coeficientes que não sejam todos zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Se não existe nenhuma combinação dos vetores que dê o vetor nulo, a gente diz que eles são linearmente independentes. Mas se rolar uma combinação onde isso acontece, então são linearmente dependentes.

Passo 3

Como estamos trabalhando em e temos 4 vetores, já sabemos que não dá pra eles serem todos independentes, porque em o máximo de vetores independentes é 3. Portanto, pelo menos um deles está na mistura de combinação linear dos outros.

Passo 4

Vamos montar uma equação para encontrar os coeficientes tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de que não sejam todos zero.

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos simplificar aqui:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  1. Substituindo na terceira equação:
  1. Da equação (II):
  2. Substituindo na equação (I):
  1. Agora, já temos e em termos de . Lembrando que :

Passo 7

Podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, a combinação linear fica:

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Uma combinação linear nula com coeficientes não todos zero é:

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) é um subes-paço vetorial do espaço das matrizes de quadradas de ordem .
Sejam e bases do . Determine , sabendo que :
Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
, e .
Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos: