Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se os vetores , , e em são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.). A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, com coeficientes que não sejam todos zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Se não existe nenhuma combinação dos vetores que dê o vetor nulo, a gente diz que eles são linearmente independentes. Mas se rolar uma combinação onde isso acontece, então são linearmente dependentes.
Passo 3
Como estamos trabalhando em e temos 4 vetores, já sabemos que não dá pra eles serem todos independentes, porque em o máximo de vetores independentes é 3. Portanto, pelo menos um deles está na mistura de combinação linear dos outros.
Passo 4
Vamos montar uma equação para encontrar os coeficientes tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de que não sejam todos zero.
Passo 6
Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos simplificar aqui:
Da segunda equação: a + 2(-2a - c + d) + 3c + 4d = 0 a - 4a - 2c + 2d + 3c + 4d = 0 -3a + c + 6d = 0 (I) 3a - 2(-2a - c + d) + c + 2d = 0 3a + 4a + 2c - 2d + c + 2d = 0 7a + 3c = 0 (II) -3a + (-73a) + 6d = 0 -163a + 6d = 0 6d = 163a d = 1618a = 89a
Substituindo b = -2a - (-73a) + 89a = -2a + 73a + 89a = (-189 + 219 + 89)a = 119a na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Da equação (II):
Substituindo na equação (I):
Agora, já temos e em termos de . Lembrando que :
Passo 7
Podemos escolher a = 9 b = 119 times 9 = 11 c = -73 times 9 = -21 d = 89 times 9 = 8 para facilitar os cálculos:
9u + 11v - 21w + 8t = 0
Então, a combinação linear fica:
Resposta
Os vetores 9u + 11v - 21w + 8t = 0 são linearmente dependentes. Uma combinação linear nula com coeficientes não todos zero é: