Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em R^3 são l.i ou l.d. No caso l d, determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
u=(1,2,3), v=(2,1,-2), w=(3,1,1), e t=(4,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se os vetores , , e em são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.). A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo, com coeficientes que não sejam todos zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Se não existe nenhuma combinação dos vetores que dê o vetor nulo, a gente diz que eles são linearmente independentes. Mas se rolar uma combinação onde isso acontece, então são linearmente dependentes.

Passo 3

Como estamos trabalhando em e temos 4 vetores, já sabemos que não dá pra eles serem todos independentes, porque em o máximo de vetores independentes é 3. Portanto, pelo menos um deles está na mistura de combinação linear dos outros.

Passo 4

Vamos montar uma equação para encontrar os coeficientes a cdot u + b cdot v + c cdot w + d cdot t = 0 tais que:
a(1, 2, 3) + b(2, 1, -2) + c(3, 1, 1) + d(4, -1, 2) = (0, 0, 0)
Substituindo os valores dos vetores, temos:

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b + 3c + 4d = 0 2a + b + c - d = 0 3a - 2b + c + 2d = 0
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar valores de que não sejam todos zero.

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos simplificar aqui:
  1. Da segunda equação: a + 2(-2a - c + d) + 3c + 4d = 0 a - 4a - 2c + 2d + 3c + 4d = 0 -3a + c + 6d = 0 (I) 3a - 2(-2a - c + d) + c + 2d = 0 3a + 4a + 2c - 2d + c + 2d = 0 7a + 3c = 0 (II) -3a + (-73a) + 6d = 0 -163a + 6d = 0 6d = 163a d = 1618a = 89a
  2. Substituindo b = -2a - (-73a) + 89a = -2a + 73a + 89a = (-189 + 219 + 89)a = 119a na primeira equação:
  1. Substituindo na terceira equação:
  1. Da equação (II):
  2. Substituindo na equação (I):
  1. Agora, já temos e em termos de . Lembrando que :

Passo 7

Podemos escolher a = 9 b = 119 times 9 = 11 c = -73 times 9 = -21 d = 89 times 9 = 8 para facilitar os cálculos:
9u + 11v - 21w + 8t = 0
Então, a combinação linear fica:

Resposta

Os vetores 9u + 11v - 21w + 8t = 0 são linearmente dependentes. Uma combinação linear nula com coeficientes não todos zero é:

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