Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Os vetores são:
O que queremos descobrir é se esses vetores são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinantes. Se eles forem dependentes, também vamos encontrar uma combinação linear que iguale a zero sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Se pelo contrário, algum vetor pode ser escrito assim, então os vetores são linearmente dependentes.
Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com esses vetores como colunas e calculando o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, são dependentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
onde .
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
O determinante da matriz é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes. Ou seja, nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois.