Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem um sistema de equações homogêneo da forma , onde é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço das soluções desse sistema. Isso significa que queremos encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis para o sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema . A matriz é dada por:
Como o sistema é homogêneo (), a matriz aumentada fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa matriz usando operações elementares de linha para chegar à forma escalonada. A ideia é encontrar uma forma onde possamos identificar facilmente as soluções.
Primeiro, observamos que a primeira coluna tem um zero na primeira posição. Para facilitar, vamos trocar a primeira e a segunda linha:
Em seguida, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (3). Para isso, multiplicamos a primeira linha por e adicionamos à terceira linha:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Dividimos a segunda linha por -3 para tornar o pivô igual a 1:
Subtraímos 5 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
Passo 4
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
Note que a terceira equação não nos dá nenhuma informação, então temos uma vari��vel livre, que vamos chamar de , onde é um parâmetro real.
Agora, expressamos e em termos de :
Então, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Resposta
Uma base para o subespaço das soluções é o conjunto formado pelo vetor: