Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo A X=0 nos casos:
A=(ccc0 & -3 & 4 3 & 0 & -5 -4 & 5 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem um sistema de equações homogêneo da forma , onde é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço das soluções desse sistema. Isso significa que queremos encontrar um conjunto de vetores que, quando combinados linearmente, geram todas as soluções possíveis para o sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como redução de matrizes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema A = 0 & -3 & 4 3 & 0 & -5 -4 & 5 & 0 . A matriz 0 & -3 & 4 & | & 0 3 & 0 & -5 & | & 0 -4 & 5 & 0 & | & 0 é dada por:
Como o sistema é homogêneo ( ), a matriz aumentada fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa matriz usando operações elementares de linha para chegar à forma escalonada. A ideia é encontrar uma forma onde possamos identificar facilmente as soluções.
Primeiro, observamos que a primeira coluna tem um zero na primeira posição. Para facilitar, vamos trocar a primeira e a segunda linha:
3 & 0 & -5 & | & 0 0 & -3 & 4 & | & 0 -4 & 5 & 0 & | & 0
Em seguida, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (3). Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 & 0 & -5 & | & 0 0 & -3 & 4 & | & 0 0 & 5 & -203 & | & 0 e adicionamos à terceira linha:
3 & 0 & -5 & | & 0 0 & 1 & -43 & | & 0 0 & 5 & -203 & | & 0
Agora, vamos focar na segunda coluna. Dividimos a segunda linha por -3 para tornar o pivô igual a 1:
3 & 0 & -5 & | & 0 0 & 1 & -43 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
Subtraímos 5 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:

Passo 4

Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
3x1 - 5x3 = 0 x2 - 43x3 = 0 0 = 0
Note que a terceira equação não nos dá nenhuma informação, então temos uma vari��vel livre, que vamos chamar de 3x1 = 5t Rightarrow x1 = 53t , onde x2 = 43t é um parâmetro real.
Agora, expressamos x = t 53 43 1 e em termos de :
Então, a solução geral do sistema pode ser escrita como:

Resposta

Uma base para o subespaço das soluções é o conjunto formado pelo vetor:
53 43 1

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