Sejam e bases do . Determine , sabendo que :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas bases e do . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas do vetor sabendo que suas coordenadas na base são . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base específica. Quando dizemos que , estamos dizendo que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
onde e .

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas do vetor na base padrão ( ). Substituindo os valores:
Agora sabemos que na base padrão.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base . Para isso, vamos resolver o sistema:
onde e . Substituindo , temos:
Isso se traduz em:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e :
Da segunda equação, já temos .
Substituindo na primeira equação:

Resposta

Então, as coordenadas do vetor na base são .

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.
Sejam dada por dada por dada por e dada por . Determine, se possível:
(g)
Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) é um subes-paço vetorial do espaço das matrizes de quadradas de ordem .
Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
, e .