Sejam A=(2,-1),(-1,1) e B=(1,0),(2,1) bases do R^2. Determine overrightarrowC B, sabendo que cA=(4.3) :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas bases e do . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas do vetor sabendo que suas coordenadas na base são . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base específica. Quando dizemos que C = 4 cdot a1 + 3 cdot a2 , estamos dizendo que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
onde e .

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas do vetor C = 4 cdot (2, -1) + 3 cdot (-1, 1) = (8, -4) + (-3, 3) = (8 - 3, -4 + 3) = (5, -1) na base padrão ( ). Substituindo os valores:
Agora sabemos que na base padrão.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas desse mesmo vetor C = x cdot b1 + y cdot b2 na base (5, -1) = x cdot (1, 0) + y cdot (2, 1) . Para isso, vamos resolver o sistema:
5 = x + 2y -1 = 0x + y
onde e . Substituindo , temos:
Isso se traduz em:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 5 = x + 2(-1) implies 5 = x - 2 implies x = 7 e :
Da segunda equação, já temos .
Substituindo na primeira equação:

Resposta

Então, as coordenadas do vetor na base são .

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