Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas bases e do . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas do vetor sabendo que suas coordenadas na base são . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base específica. Quando dizemos que , estamos dizendo que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
onde e .
Passo 3
Vamos calcular as coordenadas do vetor na base padrão (). Substituindo os valores:
Agora sabemos que na base padrão.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as coordenadas desse mesmo vetor na base . Para isso, vamos resolver o sistema:
onde e . Substituindo , temos:
Isso se traduz em:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e :
Da segunda equação, já temos .