Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) é um subes-paço vetorial do espaço das matrizes de quadradas de ordem .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. O problema quer que a gente prove que o conjunto dessas matrizes, de tamanho , forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes quadradas ( ). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar três propriedades básicas:
  1. O conjunto não está vazio.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  3. Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado também está no conjunto.
Vamos começar verificando essas condições para as matrizes simétricas.

Passo 3

Matrizes Simétricas como Subespaço
  1. Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
    A matriz zero, onde todos os elementos são zero, é simétrica porque para todo . Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes simétricas.
  2. Fechamento sob adição:
    Suponha que e são matrizes simétricas. Isso significa que e para todos . Vamos ver se também é simétrica:
    Portanto, é simétrica.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    Seja um escalar e uma matriz simétrica. Então:
    Assim, também é simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de .

Passo 4

Matrizes Anti-simétricas como Subespaço
Agora, vamos fazer o mesmo para as matrizes anti-simétricas, onde para todos .
  1. Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
    A matriz zero também é anti-simétrica porque . Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes anti-simétricas.
  2. Fechamento sob adição:
    Suponha que e são matrizes anti-simétricas. Então:
    Portanto, é anti-simétrica.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    Seja um escalar e uma matriz anti-simétrica. Então:
    Assim, também é anti-simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes anti-simétricas é também um subespaço vetorial de .

Resposta

Assim, provamos que tanto o conjunto das matrizes simétricas quanto o das matrizes anti-simétricas de ordem são subespaços vetoriais do espaço das matrizes quadradas.

Exercícios relacionados

Sejam e bases do . Determine , sabendo que :
Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Dê exemplos de matrizes simétricas e de matrizes anti-simétricas.
Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
, e .
Decida, em cada item abaixo, se os vetores dados em são l.i ou l.d. No caso , determine uma combinação linear nula destes vetores na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.
, e .