Uma matriz quadrada A=(ai j) é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se ai j=aj i (respectivamente, ai j=-aj i ) para quaisquer i, j.
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) n times n é um subes-paço vetorial do espaço M(n times n) das matrizes de quadradas de ordem n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. O problema quer que a gente prove que o conjunto dessas matrizes, de tamanho n times n, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes quadradas ( M(n times n)). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar três propriedades básicas:
  1. O conjunto não está vazio.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  3. Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado também está no conjunto.
Vamos começar verificando essas condições para as matrizes simétricas.

Passo 3

Matrizes Simétricas como Subespaço
  1. Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
    A matriz zero, onde todos os elementos são zero, é simétrica porque 0 = 0 para todo i, j. Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes simétricas.
  2. Fechamento sob adição:
    Suponha que A e B são matrizes simétricas. Isso significa que Aij = Aji e Bij = Bji para todos i, j. Vamos ver se A + B também é simétrica:
    (A + B)ij = Aij + Bij = Aji + Bji = (A + B)ji
    Portanto, A + B é simétrica.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    Seja c um escalar e A uma matriz simétrica. Então:
    (cA)ij = c cdot Aij = c cdot Aji = (cA)ji
    Assim, cA também é simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de M(n times n).

Passo 4

Matrizes Anti-simétricas como Subespaço
Agora, vamos fazer o mesmo para as matrizes anti-simétricas, onde Aij = -Aji para todos i, j.
  1. Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
    A matriz zero também é anti-simétrica porque 0 = -0. Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes anti-simétricas.
  2. Fechamento sob adição:
    Suponha que A e B são matrizes anti-simétricas. Então:
    (A + B)ij = Aij + Bij = -Aji + (-Bji) = -(Aji + Bji) = -(A + B)ji
    Portanto, A + B é anti-simétrica.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    Seja c um escalar e A uma matriz anti-simétrica. Então:
    (cA)ij = c cdot Aij = c cdot (-Aji) = -c cdot Aji = -(cA)ji
    Assim, cA também é anti-simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes anti-simétricas é também um subespaço vetorial de M(n times n).

Resposta

Assim, provamos que tanto o conjunto das matrizes simétricas quanto o das matrizes anti-simétricas de ordem n times n são subespaços vetoriais do espaço M(n times n) das matrizes quadradas.

Exercícios relacionados