Uma matriz quadrada é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se (respectivamente, ) para quaisquer .
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas) é um subes-paço vetorial do espaço das matrizes de quadradas de ordem .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. O problema quer que a gente prove que o conjunto dessas matrizes, de tamanho , forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes quadradas (). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar três propriedades básicas:
O conjunto não está vazio.
É fechado sob adição.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que satisfaz três condições:
Contém o vetor zero.
Se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado também está no conjunto.
Vamos começar verificando essas condições para as matrizes simétricas.
Passo 3
Matrizes Simétricas como Subespaço
Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
A matriz zero, onde todos os elementos são zero, é simétrica porque para todo . Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes simétricas.
Fechamento sob adição:
Suponha que e são matrizes simétricas. Isso significa que e para todos . Vamos ver se também é simétrica:
Portanto, é simétrica.
Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja um escalar e uma matriz simétrica. Então:
Assim, também é simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de .
Passo 4
Matrizes Anti-simétricas como Subespaço
Agora, vamos fazer o mesmo para as matrizes anti-simétricas, onde para todos .
Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):
A matriz zero também é anti-simétrica porque . Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes anti-simétricas.
Fechamento sob adição:
Suponha que e são matrizes anti-simétricas. Então:
Portanto, é anti-simétrica.
Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja um escalar e uma matriz anti-simétrica. Então:
Assim, também é anti-simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes anti-simétricas é também um subespaço vetorial de .
Resposta
Assim, provamos que tanto o conjunto das matrizes simétricas quanto o das matrizes anti-simétricas de ordem são subespaços vetoriais do espaço das matrizes quadradas.