Uma matriz quadrada
é dita simétrica (respectivamente, anti-simétrica) se
(respectivamente,
) para quaisquer
.
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas)
é um subes-paço vetorial do espaço
das matrizes de quadradas de ordem
.
Prove que o conjunto das matrizes simétricas (respectivamente, anti-simétricas)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. O problema quer que a gente prove que o conjunto dessas matrizes, de tamanho
, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes quadradas (
). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar três propriedades básicas:
- O conjunto não está vazio.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- Se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
- Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado também está no conjunto.
Vamos começar verificando essas condições para as matrizes simétricas.
Passo 3
Matrizes Simétricas como Subespaço
-
Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):A matriz zero, onde todos os elementos são zero, é simétrica porque
para todo . Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes simétricas. -
Fechamento sob adição:Suponha que
e são matrizes simétricas. Isso significa que e para todos . Vamos ver se também é simétrica: Portanto,é simétrica. -
Fechamento sob multiplicação por escalar:Seja
um escalar e uma matriz simétrica. Então: Assim,também é simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Matrizes Anti-simétricas como Subespaço
Agora, vamos fazer o mesmo para as matrizes anti-simétricas, onde
para todos
.
-
Conjunto não vazio (Contém o vetor zero):A matriz zero também é anti-simétrica porque
. Então, a matriz zero está no conjunto das matrizes anti-simétricas. -
Fechamento sob adição:Suponha que
e são matrizes anti-simétricas. Então: Portanto,é anti-simétrica. -
Fechamento sob multiplicação por escalar:Seja
um escalar e uma matriz anti-simétrica. Então: Assim,também é anti-simétrica.
Como todas as três condições são satisfeitas, o conjunto das matrizes anti-simétricas é também um subespaço vetorial de
.
Resposta
Assim, provamos que tanto o conjunto das matrizes simétricas quanto o das matrizes anti-simétricas de ordem
são subespaços vetoriais do espaço
das matrizes quadradas.