Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço vetorial gerado pelos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões. Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar uma combinação que forma uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Nosso objetivo é ver se existe alguma combinação linear desses vetores que dê zero. Se sim, isso quer dizer que um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros, e assim, podemos eliminar esse vetor para formar uma base menor.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações para checar a dependência linear:
Isso resulta em:
Vamos resolver esse sistema para ver se além da solução trivial , existem outras soluções.
Passo 4
Usando o método de eliminação, começamos pelas primeiras duas equações:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Isso dá:
Então, temos que , ou seja, .
Passo 5
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Logo, .
Passo 6
Agora, temos as relações:
Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes, pois um vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 7
Para encontrar uma base, vamos escolher para facilitar os cálculos:
Então, . Isso significa que pode ser escrito como .
Passo 8
Portanto, os vetores e são suficientes para gerar o subespaço, pois está na combinação de e . Agora, precisamos verificar se e são linearmente independentes.
Passo 9
Vamos montar uma matriz com apenas e :
Aplicando a redução de linhas para verificar a independência:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda: ,
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira: ,
Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta: ,
Agora, temos:
Vemos que as últimas três linhas são iguais, o que indica que e são linearmente independentes.
Resposta
A base para o subespaço vetorial é formada pelos vetores e . A dimensão desse subespaço é 2.