Identifique as superfícies parametrizadas pelas funções abaixo
r(u, v) = (u, v, v^2 - u^2), u, v em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar a superfície parametrizada pela função . Isso envolve geometria analítica e cálculo de superfícies. Vamos precisar entender como transformar essa parametrização em uma equação explícita da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes da função :
Aqui, e são parâmetros que variam em todos os números reais.

Passo 3

Agora, queremos eliminar os parâmetros e para encontrar uma relação direta entre , e . Sabemos que e , então podemos substituir na expressão para :

Passo 4

A equação descreve uma superfície no espaço tridimensional. Vamos analisar que tipo de superfície é essa.

Passo 5

A equação tem termos quadráticos em e com sinais opostos. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólico, também conhecida como sela de Cavalieri. É uma superfície que se parece com uma sela de cavalo, onde em uma direção a curvatura é para cima e na outra para baixo.

Resposta

A superfície parametrizada pela função é um paraboloide hiperbólico.

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