Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
§ sumn=1^infty 1n^2+4 n+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série infinita converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinita e Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar usar alguns testes específicos para verificar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) . Isso facilita a análise. Podemos fatorar o polinômio:
sumn=1^infty 1(n + 1)(n + 3)
Então, a série fica:
n^2 + 4n + 3 > n^2
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação Direta. Esse teste funciona comparando a série em questão com outra série cuja convergência ou divergência já conhecemos.
Observamos que para todo 1n^2 + 4n + 3 < 1n^2 :
Portanto:
Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p convergem se . Como , essa série converge.

Passo 3

Usando o Teste da Comparação Direta, já que e a série converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados