Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
§

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série infinita converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinita e Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar usar alguns testes específicos para verificar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração . Isso facilita a análise. Podemos fatorar o polinômio:
Então, a série fica:
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação Direta. Esse teste funciona comparando a série em questão com outra série cuja convergência ou divergência já conhecemos.
Observamos que para todo :
Portanto:
Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p convergem se . Como , essa série converge.

Passo 3

Usando o Teste da Comparação Direta, já que e a série converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d)
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: