Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série infinita
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinita e Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar usar alguns testes específicos para verificar o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração
. Isso facilita a análise. Podemos fatorar o polinômio:
Então, a série fica:
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação Direta. Esse teste funciona comparando a série em questão com outra série cuja convergência ou divergência já conhecemos.
Observamos que para todo
:
Portanto:
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Séries p convergem se
. Como
, essa série converge.
Passo 3
Usando o Teste da Comparação Direta, já que
e a série
converge, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d)
(d)
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)
(f)
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: