Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(i)
(i)
Passo 1
Estamos lidando com a série infinita
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que
pode ser reescrito como
. Como
, o termo geral fica:
Então, a série pode ser escrita como:
Isso mostra que a série é alternada devido ao fator
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . -
.
Aqui, nosso
é
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é decrescente:
Vamos analisar o comportamento de
conforme
aumenta. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Para
,
é negativo, o que indica que
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar o segundo critério do teste:
Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto,
.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série
converge.