Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(i) sumn=0^infty (-1)^n-3 raiznn+4

Passo 1

Estamos lidando com a série infinita sumn=0^infty (-1)^n-3 raiznn+4. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que (-1)^n-3 pode ser reescrito como (-1)^n cdot (-1)^-3. Como (-1)^-3 = -1, o termo geral fica:
(-1)^n-3 raiznn+4 = -(-1)^n raiznn+4
Então, a série pode ser escrita como:
sumn=0^infty -(-1)^n raiznn+4 = -sumn=0^infty (-1)^n raiznn+4
Isso mostra que a série é alternada devido ao fator (-1)^n.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma sumn=0^infty (-1)^n bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são decrescentes, ou seja, bn+1 <= bn para todo n.
  2. limn to infty bn = 0.
Aqui, nosso bn é raiznn+4.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se bn é decrescente:
bn = raiznn+4
Vamos analisar o comportamento de bn conforme n aumenta. Para isso, calculamos a derivada de bn em relação a n:
bn = n^1/2n + 4
Aplicando a regra do quociente:
b'n = (1/2)n^-1/2(n + 4) - n^1/2(1)(n + 4)^2
Simplificando:
b'n = (n + 4)/(2raizn) - raizn(n + 4)^2 = n + 4 - 2n2raizn(n + 4)^2 = 4 - n2raizn(n + 4)^2
Para n >= 5, 4 - n é negativo, o que indica que bn é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar o segundo critério do teste:
limn to infty bn = limn to infty raiznn + 4
Dividindo numerador e denominador por raizn:
limn to infty 1raizn + 4raizn = 0
Portanto, limn to infty bn = 0.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série sumn=0^infty (-1)^n-3 raiznn+4 converge.

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