Determine uma parametrização para cada superfície abaixo.
A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma parametrização para a superfície da esfera . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a parametrização de superfícies. Para isso, vamos precisar entender como representar os pontos de uma esfera usando parâmetros, geralmente usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da esfera representa uma esfera com raio (já que ) e centro na origem .

Passo 3

Para parametrizar a esfera, vamos usar coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto na esfera pode ser representado por dois ângulos: o ângulo polar (theta) e o ângulo azimutal (phi). A parametrização em coordenadas esféricas é dada por:
Onde:
  • é o raio da esfera,
  • varia de a ,
  • varia de a .

Passo 4

No nosso caso, como o raio , substituímos esse valor nas equações acima:

Passo 5

Portanto, a parametrização da esfera é dada por:
Onde e .

Resposta

A parametrização da esfera é:
com variando de a e variando de a .

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