Determine uma parametrização para cada superfície abaixo.
A esfera
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma parametrização para a superfície da esfera . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a parametrização de superfícies. Para isso, vamos precisar entender como representar os pontos de uma esfera usando parâmetros, geralmente usando coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação da esfera representa uma esfera com raio (já que ) e centro na origem .
Passo 3
Para parametrizar a esfera, vamos usar coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto na esfera pode ser representado por dois ângulos: o ângulo polar (theta) e o ângulo azimutal (phi). A parametrização em coordenadas esféricas é dada por:
Onde:
é o raio da esfera,
varia de a ,
varia de a .
Passo 4
No nosso caso, como o raio , substituímos esse valor nas equações acima: