Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para decidirmos se a série infinita
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, onde analisamos se a soma dos termos tende a um número finito ou não. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que compara nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série para entender seu comportamento quando
fica bem grande. Observamos que:
Além disso, temos o denominador
, então a expressão completa fica:
Passo 3
Agora, comparamos essa aproximação com uma série conhecida, a série p, que tem a forma
. Sabemos que uma série p converge se
.
No nosso caso, o expoente é
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Como a nossa série original
se comporta de forma semelhante a
para valores grandes de
, e já que a série comparada converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série do exercício também converge.
Resposta
A série
converge.