Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(e) sumn=1^infty n+2(n^2+1) raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decidirmos se a série infinita converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, onde analisamos se a soma dos termos tende a um número finito ou não. Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que compara nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série para entender seu comportamento quando n+2n^2+1 approx nn^2 = 1n fica bem grande. Observamos que:
n+2(n^2+1) raizn approx 1n cdot raizn = 1n^3/2
Além disso, temos o denominador , então a expressão completa fica:

Passo 3

Agora, comparamos essa aproximação com uma série conhecida, a série p, que tem a forma . Sabemos que uma série p converge se .
No nosso caso, o expoente é , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a nossa série original se comporta de forma semelhante a para valores grandes de , e já que a série comparada converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série do exercício também converge.

Resposta

A série converge.

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