Encontre todos os pontos do gráfico da função f(x) = 2 * sen(x) + (sen(x))^2 onde a reta tangente é horizontal. Restrinja x ao intervalo [-pi, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os pontos no gráfico da função onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde a inclinação da reta é zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero dentro do intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, vamos derivar cada termo de :
A derivada de é . Para o termo , usamos a regra de derivação para potências e a regra da cadeia:
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, queremos saber onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, então vamos igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar da equação:
Portanto, a equação será verdadeira se qualquer um dos fatores for zero:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente dentro do intervalo .
Primeira equação:
Sabemos que o cosseno é zero nos ângulos:
Segunda equação:
Resolvendo para :
Sabemos que quando:

Passo 5

Obrigatório verificar se os valores encontrados estão dentro do intervalo :
  • está dentro do intervalo.
  • está dentro do intervalo.
Portanto, os valores e são soluções válidas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes usando a função .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de é horizontal no intervalo são:

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