Encontre todos os pontos do gráfico da função
onde a reta tangente é horizontal. Restrinja
ao intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os pontos no gráfico da função
onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde a inclinação da reta é zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero dentro do intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, vamos derivar cada termo de
:
A derivada de
é
. Para o termo
, usamos a regra de derivação para potências e a regra da cadeia:
Então, a derivada da função
é:
Passo 3
Agora, queremos saber onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, então vamos igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar
da equação:
Portanto, a equação será verdadeira se qualquer um dos fatores for zero:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente dentro do intervalo
.
Primeira equação:
Sabemos que o cosseno é zero nos ângulos:
Segunda equação:
Resolvendo para
:
Sabemos que
quando:
Passo 5
Obrigatório verificar se os valores encontrados estão dentro do intervalo
:
-
está dentro do intervalo. -
está dentro do intervalo.
Portanto, os valores
e
são soluções válidas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes usando a função
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de
é horizontal no intervalo
são: