Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(j) sumn=2^infty cos (n pi)raizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, especialmente aqueles que lidam com séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão sumn=2^infty (-1)^nraizn . Sabemos que , porque o cosseno de alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Assim, nossa série fica:

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série alternada, já que os termos alternam sinais devido a . Para verificar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).

Passo 4

O Teste da Série Alternada nos diz que se os termos são positivos, decrescem e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série converge.
  • Positivos: para todo .
  • Decrescem: Conforme aumenta, diminui.
  • Tendência a zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty |(-1)^nraizn| = sumn=2^infty 1raizn
Essa é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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