Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, especialmente aqueles que lidam com séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão . Sabemos que , porque o cosseno de alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Assim, nossa série fica:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma série alternada, já que os termos alternam sinais devido a . Para verificar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).
Passo 4
O Teste da Série Alternada nos diz que se os termos são positivos, decrescem e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série converge.
Positivos: para todo .
Decrescem: Conforme aumenta, diminui.
Tendência a zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , a série dos valores absolutos diverge.