Seja
uma superfície representada na forma explícita por
. Usando
e
como parâmetro, mostre que a área de
pode ser expressa por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.
Obs:
mesmo vale se
ou
. Se convença deste fato
Obs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície
descrita pela equação
. Nosso objetivo é mostrar como calcular a área dessa superfície usando cálculo de integrais duplas. Vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como calcular a área de uma superfície. Diferente da área de uma figura plana, aqui a superfície está em 3D. Para isso, usamos uma integral dupla que soma pequenos pedaços de área sobre toda a superfície.
Passo 3
Para parametrizar a superfície
, usamos
e
como variáveis. Assim, cada ponto na superfície pode ser representado como
. A área da superfície será a soma de todos os pequenos retângulos infinitesimais que cobrem
.
Passo 4
Vamos descobrir como fica um desses pequenos retângulos na superfície. Considerando mudanças infinitesimais em
e
,
também muda. As derivadas parciais
e
nos dizem como
varia com
e
.
Passo 5
O elemento de área na superfície,
, pode ser encontrado usando o teorema do diferencial para áreas de superfícies. Ele é dado por:
Isso vem da ideia de combinar as variações em
e
com a inclinação da superfície.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a área total
da superfície, integramos
sobre toda a região
, que é a projeção da superfície no plano
:
Essa integral soma todos os pequenos pedaços de área
para cobrir toda a superfície
.
Resposta
Portanto, a área da superfície
é dada por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(j)
(j)
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(m)
(m)
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b)
(b)
Suponha que
seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Dica: .
Dica: