Seja S uma superfície representada na forma explícita por z=f(x, y). Usando x e y como parâmetro, mostre que a área de S pode ser expressa por
A(S)=integral duplaR raiz1+(partial zpartial x)^2+(partial zpartial y)^2
onde R é a projeção de S sobre o plano x y.
Obs: O mesmo vale se x=f(y, z) ou y=f(x, z). Se convença deste fato

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície descrita pela equação . Nosso objetivo é mostrar como calcular a área dessa superfície usando cálculo de integrais duplas. Vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como calcular a área de uma superfície. Diferente da área de uma figura plana, aqui a superfície está em 3D. Para isso, usamos uma integral dupla que soma pequenos pedaços de área sobre toda a superfície.

Passo 3

Para parametrizar a superfície , usamos e como variáveis. Assim, cada ponto na superfície pode ser representado como . A área da superfície será a soma de todos os pequenos retângulos infinitesimais que cobrem .

Passo 4

Vamos descobrir como fica um desses pequenos retângulos na superfície. Considerando mudanças infinitesimais em e , também muda. As derivadas parciais e nos dizem como varia com e .

Passo 5

O elemento de área na superfície, dA = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy , pode ser encontrado usando o teorema do diferencial para áreas de superfícies. Ele é dado por:
Isso vem da ideia de combinar as variações em e com a inclinação da superfície.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a área total A(S) = integral duplaR raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy da superfície, integramos sobre toda a região , que é a projeção da superfície no plano :
Essa integral soma todos os pequenos pedaços de área para cobrir toda a superfície .

Resposta

Portanto, a área da superfície A(S) = integral duplaR raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy é dada por
onde é a projeção de sobre o plano .

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