Seja
uma superfície representada na forma explícita por
. Usando
e
como parâmetro, mostre que a área de
pode ser expressa por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.
Obs:
mesmo vale se
ou
. Se convença deste fato
Obs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície
descrita pela equação
. Nosso objetivo é mostrar como calcular a área dessa superfície usando cálculo de integrais duplas. Vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como calcular a área de uma superfície. Diferente da área de uma figura plana, aqui a superfície está em 3D. Para isso, usamos uma integral dupla que soma pequenos pedaços de área sobre toda a superfície.
Passo 3
Para parametrizar a superfície
, usamos
e
como variáveis. Assim, cada ponto na superfície pode ser representado como
. A área da superfície será a soma de todos os pequenos retângulos infinitesimais que cobrem
.
Passo 4
Vamos descobrir como fica um desses pequenos retângulos na superfície. Considerando mudanças infinitesimais em
e
,
também muda. As derivadas parciais
e
nos dizem como
varia com
e
.
Passo 5
O elemento de área na superfície,
, pode ser encontrado usando o teorema do diferencial para áreas de superfícies. Ele é dado por:
Isso vem da ideia de combinar as variações em
e
com a inclinação da superfície.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a área total
da superfície, integramos
sobre toda a região
, que é a projeção da superfície no plano
:
Essa integral soma todos os pequenos pedaços de área
para cobrir toda a superfície
.
Resposta
Portanto, a área da superfície
é dada por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.