Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas parciais e a equação de planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que possamos aplicar as ferramentas que conhecemos. A superfície é dada por:
Aqui, representa uma função que igualamos a zero para definir a superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Isso significa substituir , e pelos valores do ponto na expressão das derivadas.
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser construída usando as derivadas parciais calculadas e as coordenadas do ponto . A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: