Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de series infinitas e testes de convergência. Vamos precisar simplificar a expressão e aplicar um teste apropriado para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é:
Vamos simplificar a parte :
Substituindo de volta no :
Podemos reescrever como :
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de conforme cresce. Observe que:
O módulo dessa razão é:
Como a base da potência é maior que 1 em módulo, cresce exponencialmente conforme aumenta. Além disso, temos o termo , que simplifica para aproximadamente para grandes valores de .
Portanto, o termo geral se comporta aproximadamente como:
À medida que cresce, domina e tende para o infinito.
Passo 4
Para determinar a convergência ou divergência da série, vamos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como cresce exponencialmente e cresce polinomialmente, o limite tende para infinito: