Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(m) sumn=2^infty (-2)^1+3 n(n+1)n^2 5^1+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de series infinitas e testes de convergência. Vamos precisar simplificar a expressão e aplicar um teste apropriado para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é:
an = (-2)^1+3n(n+1)n^2 5^1+n
Vamos simplificar a parte (-2)^1+3n = (-2) cdot (-2)^3n = (-2) cdot [(-2)^3]^n = (-2) cdot (-8)^n :
an = -2 cdot (-8)^n cdot (n+1) n^2 cdot 5^1+n = -2 cdot (-8)^n cdot (n+1) 5 cdot n^2 cdot 5^n
Substituindo de volta no an = -2 cdot (-8)^n cdot (n+1) 5 cdot n^2 cdot 5^n :
Podemos reescrever como :

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de (-8)^n5^n = ( -85 )^n conforme | -85 | = 85 = 1.6 > 1 cresce. Observe que:
an approx -2 cdot 1.6^n5n
O módulo dessa razão é:
Como a base da potência é maior que 1 em módulo, cresce exponencialmente conforme aumenta. Além disso, temos o termo , que simplifica para aproximadamente para grandes valores de .
Portanto, o termo geral se comporta aproximadamente como:
À medida que cresce, domina e tende para o infinito.

Passo 4

Para determinar a convergência ou divergência da série, vamos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral limn to infty an = limn to infty -2 cdot (-8)^n cdot (n+1)5 cdot n^2 cdot 5^n = limn to infty -2 cdot (1.6)^n cdot (n+1)5 cdot n^2 quando limn to infty an = infty neq 0 tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como cresce exponencialmente e cresce polinomialmente, o limite tende para infinito:

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência.

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