Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(l) sumn=0^infty 1(-1)^n(2^n+3^n)

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que:
1(-1)^n(2^n+3^n) = (-1)^n2^n + 3^n
Agora, nossa série fica:
sumn=0^infty (-1)^n2^n + 3^n
Percebemos que os termos da série alternam de sinal devido ao .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. Positividade: Os termos são positivos.
  2. Decrescimento: A sequência é decrescente.
  3. Limite Zero:
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

  1. Positividade:
    an = 12^n + 3^n
    Como limn to infty 12^n + 3^n = 0 e são positivos para todo , também é positivo.
  2. Decrescimento:
    Conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a sequência é decrescente.
  3. Limite Zero:
    Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
    Isso acontece porque cresce mais rapidamente que , tornando o denominador muito grande e, consequentemente, tende a zero.

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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