Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
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Passo 1
Vamos analisar a série infinita
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que:
Agora, nossa série fica:
Percebemos que os termos da série alternam de sinal devido ao
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se:
- Positividade: Os termos
são positivos. - Decrescimento: A sequência
é decrescente. - Limite Zero:
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
-
Positividade:Como
e são positivos para todo , também é positivo. -
Decrescimento:Conforme
aumenta, também aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a sequência é decrescente. -
Limite Zero:Calculamos o limite de
quando tende ao infinito: Isso acontece porquecresce mais rapidamente que , tornando o denominador muito grande e, consequentemente, tende a zero.
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.