Qual é a derivada da função f(x)=3^(-1/x) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas envolvendo funções exponenciais com base diferente de . Para isso, precisamos saber como derivar funções do tipo , onde é uma constante e é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, reconhecemos que temos uma função exponencial com base 3 e expoente .

Passo 3

Para derivar , usamos a regra:
Onde:
  • é a base da exponencial,
  • é o expoente,
  • é o logaritmo natural da base,
  • é a derivada do expoente em relação a .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, identificamos:
Então, vamos encontrar :
Isso porque a derivada de é .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da derivada:

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos escrever:

Resposta

A derivada da função é:

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