Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(n) sumn=1^infty(3 n+14-2 n)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série, ou seja, . Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise.

Passo 3

Simplificando a fração dentro da potência:
3n + 14 - 2n = 3n + 1-2n + 4 = -3n + 12n - 4
Para facilitar, podemos dividir numerador e denominador por -3 + 1n2 - 4n :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando -3 + 02 - 0 = -32 fica muito grande (tende ao infinito). Os termos e vão se aproximar de zero, então temos:
Portanto, para grande, a expressão se aproxima de .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos que para (3n + 14 - 2n)^2n approx (-32)^2n grande:
(32)^2n = (94)^n
Como estamos elevando um número negativo à potência , que é par, o resultado será positivo:

Passo 6

Agora, nossa série se aproxima de:
sumn=1^infty (94)^n
Essa é uma série geométrica onde a razão .

Passo 7

Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se . Neste caso, , então a série geométrica divergirá.

Passo 8

Como a série original se comporta como uma série geométrica com razão maior que 1 para grande, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

A série infinita diverge.

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