Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série, ou seja, . Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise.

Passo 3

Simplificando a fração dentro da potência:
Para facilitar, podemos dividir numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando fica muito grande (tende ao infinito). Os termos e vão se aproximar de zero, então temos:
Portanto, para grande, a expressão se aproxima de .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos que para grande:
Como estamos elevando um número negativo à potência , que é par, o resultado será positivo:

Passo 6

Agora, nossa série se aproxima de:
Essa é uma série geométrica onde a razão .

Passo 7

Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se . Neste caso, , então a série geométrica divergirá.

Passo 8

Como a série original se comporta como uma série geométrica com razão maior que 1 para grande, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

A série infinita diverge.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut.
b) ;
Encontre os limites:
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)