Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série, ou seja,
. Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise.
Passo 3
Simplificando a fração dentro da potência:
Para facilitar, podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
fica muito grande (tende ao infinito). Os termos
e
vão se aproximar de zero, então temos:
Portanto, para
grande, a expressão
se aproxima de
.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original, temos que para
grande:
Como estamos elevando um número negativo à potência
, que é par, o resultado será positivo:
Passo 6
Agora, nossa série se aproxima de:
Essa é uma série geométrica onde a razão
.
Passo 7
Sabemos que uma série geométrica
converge se e somente se
. Neste caso,
, então a série geométrica divergirá.
Passo 8
Como a série original se comporta como uma série geométrica com razão maior que 1 para
grande, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
A série infinita
diverge.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut.
b) ;
b)
Encontre os limites:
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)