Determine uma parametrização para cada superfície abaixo.
A parte do plano z - x - 3 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma parametrização para a parte do plano dado pela equação que está dentro do cilindro definido por . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrizações de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as duas superfícies envolvidas:
  1. Plano : Podemos reescrever essa equação para expressar em termos de :
    Isso nos mostra que, para qualquer valor de e , o valor de é sempre .
  2. Cilindro : Essa é a equação de um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo . Isso significa que, para qualquer valor de , os pontos estão contidos em um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Para parametrizar a parte do plano que está dentro do cilindro, vamos usar coordenadas polares no plano . Em coordenadas polares, temos:
Onde é o raio e é o ângulo.
Como o cilindro tem raio 1, varia de 0 a 1, e varia de 0 a .

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de e em termos de e na equação do plano para encontrar :
Então, a parametrização completa será em função de e :
Onde:

Resposta

A parametrização para a parte do plano dentro do cilindro é dada por:
Com:

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