Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar encontrar o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e testes de convergência, como o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série para entender seu comportamento quando
fica bem grande. Olhando para o numerador
, percebemos que, para valores grandes de
, o termo dominante é
. Então, podemos aproximar o numerador assim:
No denominador
, o termo dominante é
, então podemos aproximar:
Passo 3
Com essas aproximações, o termo geral da série fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida
. Sabemos que a série
é uma série p, onde
, e ela é convergente porque
.
Passo 5
Para confirmar a convergência da nossa série original, usamos o Teste de Comparação. Como os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos termos de uma série convergente e são menores ou iguais a eles para valores grandes de
, podemos concluir que nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
§
§
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d)
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