Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar encontrar o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e testes de convergência, como o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série para entender seu comportamento quando fica bem grande. Olhando para o numerador , percebemos que, para valores grandes de , o termo dominante é . Então, podemos aproximar o numerador assim:
No denominador , o termo dominante é , então podemos aproximar:

Passo 3

Com essas aproximações, o termo geral da série fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida . Sabemos que a série é uma série p, onde , e ela é convergente porque .

Passo 5

Para confirmar a convergência da nossa série original, usamos o Teste de Comparação. Como os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos termos de uma série convergente e são menores ou iguais a eles para valores grandes de , podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
§
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d)