Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f) sumn=1^infty raiz2 n^2+4 n+1n^3+9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar encontrar o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e testes de convergência, como o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série para entender seu comportamento quando raiz2n^2+4n+1 approx raiz2n^2 = nraiz2 fica bem grande. Olhando para o numerador n^3+9 approx n^3 , percebemos que, para valores grandes de , o termo dominante é . Então, podemos aproximar o numerador assim:
No denominador , o termo dominante é , então podemos aproximar:

Passo 3

Com essas aproximações, o termo geral da série fica aproximadamente:
raiz2n^2+4n+1n^3+9 approx nraiz2n^3 = raiz2n^2

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida . Sabemos que a série é uma série p, onde , e ela é convergente porque .

Passo 5

Para confirmar a convergência da nossa série original, usamos o Teste de Comparação. Como os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos termos de uma série convergente e são menores ou iguais a eles para valores grandes de , podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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