Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: a_n = (1.3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * (2n)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência está convergindo ou divergindo. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comparar termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a sequência. O numerador é o produto dos primeiros números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros números pares. Podemos reescrever isso usando fatoriais para facilitar a análise.

Passo 3

A gente sabe que o produto dos primeiros números pares pode ser escrito como . Então, o denominador fica .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador: . Esse produto pode ser relacionado ao fatorial duplo ou usando propriedades de combinações. Uma forma prática é relacionar com o fatorial normal e simplificar.

Passo 5

Com isso, podemos expressar a sequência da seguinte maneira:
Mas também sabemos que . Então, substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, observamos que é conhecido como o coeficiente binomial . Então, podemos reescrever como:
Sabemos que, para grandes valores de , se comporta aproximadamente como .

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão de , temos:
À medida que cresce, tende a 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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