Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência
está convergindo ou divergindo. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comparar termos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência. O numerador é o produto dos primeiros
números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros
números pares. Podemos reescrever isso usando fatoriais para facilitar a análise.
Passo 3
A gente sabe que o produto dos primeiros
números pares pode ser escrito como
. Então, o denominador fica
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador:
. Esse produto pode ser relacionado ao fatorial duplo ou usando propriedades de combinações. Uma forma prática é relacionar com o fatorial normal e simplificar.
Passo 5
Com isso, podemos expressar a sequência
da seguinte maneira:
Mas também sabemos que
. Então, substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora, observamos que
é conhecido como o coeficiente binomial
. Então, podemos reescrever
como:
Sabemos que, para grandes valores de
,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 7
Substituindo essa aproximação na expressão de
, temos:
À medida que
cresce,
tende a 0.
Resposta
A sequência
converge para 0.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista.
f)
f)
Ache três números positivos cuja soma é 24 , de modo que o produto deles seja o maior possível.
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
d)
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.