Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula conhecida de limites que envolve a base :
Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 4

Vamos comparar nossa sequência com a fórmula acima. Na nossa sequência, temos no lugar de e no denominador:
À medida que cresce, também cresce, então podemos aproximar por para valores grandes de . Portanto, nossa expressão se aproxima de:

Passo 5

Aplicando a fórmula do limite conhecido, sabemos que:
Como nossa sequência se aproxima dessa forma, podemos concluir que o limite dela será .

Resposta

A sequência é convergente, e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Prove (utilizando a definição de limite) que .
Calcule, caso exista.
c)