Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa decidir se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma fórmula conhecida de limites que envolve a base
:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Passo 4
Vamos comparar nossa sequência com a fórmula acima. Na nossa sequência, temos
no lugar de
e
no denominador:
À medida que
cresce,
também cresce, então podemos aproximar
por
para valores grandes de
. Portanto, nossa expressão se aproxima de:
Passo 5
Aplicando a fórmula do limite conhecido, sabemos que:
Como nossa sequência se aproxima dessa forma, podemos concluir que o limite dela será
.
Resposta
A sequência
é convergente, e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Prove (utilizando a definição de limite) que
.
Calcule, caso exista.
c)
c)