Prove (utilizando a definição de limite) que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 3,
se aproxima de 8. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal (epsilon-delta). Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Aqui,
,
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar um
em termos de
que satisfaça a condição da definição. Começamos pela expressão
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, fatoramos
:
Para facilitar, vamos garantir que
está perto de 3, por exemplo,
. Isso implica que
está entre 2 e 4, então
será no máximo 7.
Passo 5
Com isso, temos:
Dividindo ambos os lados por 7:
Passo 6
Então, podemos escolher:
Isso garante que se
, então
, cumprindo a definição de limite.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Calcule, caso exista.
c)
c)
Definição de limite. Seja
uma função definida em algum intervalo aberto contendo
, exceto possivelmente em
. Dizemos que o limite da função
quando
tende a
é igual a
, e escrevemos
quando, dado
qualquer, existe
tal que, se
, então
. (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)