Prove (utilizando a definição de limite) que lim x 3(x^2-1)=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 3, se aproxima de 8. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal (epsilon-delta). Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, , e .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar um |x^2 - 1 - 8| = |x^2 - 9| < epsilon em termos de |x^2 - 9| < epsilon que satisfaça a condição da definição. Começamos pela expressão :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, fatoramos |x^2 - 9| = |(x - 3)(x + 3)| :
Para facilitar, vamos garantir que está perto de 3, por exemplo, . Isso implica que está entre 2 e 4, então será no máximo 7.

Passo 5

Com isso, temos:
|(x - 3)(x + 3)| < epsilon |x - 3| cdot |x + 3| < epsilon |x - 3| cdot 7 < epsilon
Dividindo ambos os lados por 7:
|x - 3| < epsilon7

Passo 6

Então, podemos escolher:
de
Isso garante que se , então , cumprindo a definição de limite.

Resposta

Portanto, .

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