Prove (utilizando a definição de limite) que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 3, se aproxima de 8. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal (epsilon-delta). Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, , e .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar um em termos de que satisfaça a condição da definição. Começamos pela expressão :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, fatoramos :
Para facilitar, vamos garantir que está perto de 3, por exemplo, . Isso implica que está entre 2 e 4, então será no máximo 7.

Passo 5

Com isso, temos:
Dividindo ambos os lados por 7:

Passo 6

Então, podemos escolher:
Isso garante que se , então , cumprindo a definição de limite.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Calcule, caso exista.
c)
Definição de limite. Seja uma função definida em algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em . Dizemos que o limite da função quando tende a é igual a , e escrevemos quando, dado qualquer, existe tal que, se , então . (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)