Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a sequência que você me deu: . A questão pede para decidirmos se essa sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências e entender como identificar o comportamento de uma sequência ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender qual é a regra geral dessa sequência. Observando os termos, vemos que os elementos alternam entre 1 e frações que têm denominadores potências de 2. Vamos indexar os termos para facilitar:
  • Termo 1 ( ):
  • Termo 2 ( ):
  • Termo 3 ( ):
  • Termo 4 ( ):
  • Termo 5 ( ):
  • Termo 6 ( ):
  • E assim por diante…
Parece que quando é ímpar, o termo é sempre 1, e quando é par, o termo é , onde . Vamos formalizar isso.

Passo 3

Definimos a regra geral da sequência da seguinte forma:
éíé
Ou seja,
éíé

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da sequência conforme cresce, ou seja, conforme tende ao infinito. Para que uma sequência seja convergente, todos os seus termos devem se aproximar de um único valor à medida que aumenta.
No nosso caso, observamos que:
  • Para ímpar: sempre.
  • Para par: , e sabemos que .

Passo 5

Vamos pensar nos subsequentes da sequência:
  • A subsequência dos termos de índices ímpares é constante e igual a 1:
  • A subsequência dos termos de índices pares converge para 0:

Passo 6

Uma sequência converge para um valor se e somente se todas as suas subsequências convergirem para o mesmo . No nosso caso, temos duas subsequências com limites diferentes:
  • Uma subsequência converge para 1.
  • Outra subsequência converge para 0.
Como os limites são diferentes, a sequência original não converge para nenhum valor único.

Resposta

A sequência é divergente, pois possui subsequências com limites distintos (1 e 0) e, portanto, não converge para um único valor.

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Calcule as derivadas abaixo:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
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