Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a sequência que você me deu:
. A questão pede para decidirmos se essa sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências e entender como identificar o comportamento de uma sequência ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender qual é a regra geral dessa sequência. Observando os termos, vemos que os elementos alternam entre 1 e frações que têm denominadores potências de 2. Vamos indexar os termos para facilitar:
- Termo 1 (
): - Termo 2 (
): - Termo 3 (
): - Termo 4 (
): - Termo 5 (
): - Termo 6 (
): - E assim por diante…
Parece que quando
é ímpar, o termo é sempre 1, e quando
é par, o termo é
, onde
. Vamos formalizar isso.
Passo 3
Definimos a regra geral da sequência da seguinte forma:
Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da sequência conforme
cresce, ou seja, conforme
tende ao infinito. Para que uma sequência seja convergente, todos os seus termos devem se aproximar de um único valor à medida que
aumenta.
No nosso caso, observamos que:
- Para
ímpar: sempre. - Para
par: , e sabemos que .
Passo 5
Vamos pensar nos subsequentes da sequência:
-
A subsequência dos termos de índices ímpares é constante e igual a 1:
-
A subsequência dos termos de índices pares converge para 0:
Passo 6
Uma sequência converge para um valor
se e somente se todas as suas subsequências convergirem para o mesmo
. No nosso caso, temos duas subsequências com limites diferentes:
- Uma subsequência converge para 1.
- Outra subsequência converge para 0.
Como os limites são diferentes, a sequência original não converge para nenhum valor único.
Resposta
A sequência
é divergente, pois possui subsequências com limites distintos (1 e 0) e, portanto, não converge para um único valor.
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Calcule as derivadas abaixo:
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