Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. 1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, 1, 1/16, ...

Passo 1

Beleza, vamos analisar a sequência que você me deu: 1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, 1, 1/16, .... A questão pede para decidirmos se essa sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de sequências e entender como identificar o comportamento de uma sequência ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender qual é a regra geral dessa sequência. Observando os termos, vemos que os elementos alternam entre 1 e frações que têm denominadores potências de 2. Vamos indexar os termos para facilitar:
  • Termo 1 ( n = 1): 1
  • Termo 2 ( n = 2): 1/2
  • Termo 3 ( n = 3): 1
  • Termo 4 ( n = 4): 1/4
  • Termo 5 ( n = 5): 1
  • Termo 6 ( n = 6): 1/8
  • E assim por diante…
Parece que quando n é ímpar, o termo é sempre 1, e quando n é par, o termo é , onde . Vamos formalizar isso.

Passo 3

Definimos a regra geral da sequência da seguinte forma:
éíé
Ou seja,
éíé

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da sequência conforme n cresce, ou seja, conforme n tende ao infinito. Para que uma sequência seja convergente, todos os seus termos devem se aproximar de um único valor à medida que n aumenta.
No nosso caso, observamos que:
  • Para n ímpar: sempre.
  • Para n par: , e sabemos que .

Passo 5

Vamos pensar nos subsequentes da sequência:
  • A subsequência dos termos de índices ímpares é constante e igual a 1:
  • A subsequência dos termos de índices pares converge para 0:

Passo 6

Uma sequência converge para um valor L se e somente se todas as suas subsequências convergirem para o mesmo L. No nosso caso, temos duas subsequências com limites diferentes:
  • Uma subsequência converge para 1.
  • Outra subsequência converge para 0.
Como os limites são diferentes, a sequência original não converge para nenhum valor único.

Resposta

A sequência 1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, 1, 1/16, ... é divergente, pois possui subsequências com limites distintos (1 e 0) e, portanto, não converge para um único valor.

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