Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números que alterna sinais e quer descobrir se ela converge (ou seja, se tem um limite) ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos precisar identificar como a sequência se comporta conforme avança e verificar se ela se aproxima de algum valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os termos que temos:
Perceba que a sequência alterna sinais positivos e negativos. Além disso, os denominadores parecem ser potências de 2:
. Já os numeradores seguem uma certa lógica:
. Vamos separar a sequência em duas partes: os termos de índice ímpar e os de índice par.
Passo 3
Termos com índice ímpar:
Essa parte da sequência pode ser representada por:
À medida que
cresce,
fica cada vez maior, então
tende a zero.
Termos com índice par:
Observamos que os numeradores seguem a sequência
, que pode ser expressa como
para
. Assim, podemos representar esses termos como:
Simplificando:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então
tende a
.
Passo 4
Agora que temos os limites das duas subsequências:
- A parte dos termos ímpares tende a
. - A parte dos termos pares tende a
.
Como as duas partes têm limites diferentes, a sequência original não pode ter um único limite. Para uma sequência ser convergente, todas as suas subsequências devem convergir para o mesmo valor. Como não é o caso aqui, concluímos que a sequência diverge.
Resposta
A sequência é divergente.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.