Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números que alterna sinais e quer descobrir se ela converge (ou seja, se tem um limite) ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos precisar identificar como a sequência se comporta conforme avança e verificar se ela se aproxima de algum valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os termos que temos:
Perceba que a sequência alterna sinais positivos e negativos. Além disso, os denominadores parecem ser potências de 2: . Já os numeradores seguem uma certa lógica: . Vamos separar a sequência em duas partes: os termos de índice ímpar e os de índice par.

Passo 3

Termos com índice ímpar:
Essa parte da sequência pode ser representada por:
À medida que cresce, fica cada vez maior, então tende a zero.
Termos com índice par:
Observamos que os numeradores seguem a sequência , que pode ser expressa como para . Assim, podemos representar esses termos como:
Simplificando:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então tende a .

Passo 4

Agora que temos os limites das duas subsequências:
  • A parte dos termos ímpares tende a .
  • A parte dos termos pares tende a .
Como as duas partes têm limites diferentes, a sequência original não pode ter um único limite. Para uma sequência ser convergente, todas as suas subsequências devem convergir para o mesmo valor. Como não é o caso aqui, concluímos que a sequência diverge.

Resposta

A sequência é divergente.

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