Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = (4 + 1/n)^(1/2)

Passo 1

Beleza! Vamos analisar se a sequência é convergente ou divergente. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, temas de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de sequências e identificar se a sequência se aproxima de algum valor específico à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o entendimento:
Isso significa que estamos calculando a raiz quadrada de para cada termo da sequência.

Passo 3

Agora, para encontrar o limite da sequência quando tende ao infinito ( ), observamos o comportamento de . Sabemos que:
Então, à medida que aumenta, fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Substituindo esse comportamento no , temos:

Passo 5

Calculando a raiz quadrada de 4:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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