Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência matemática:
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um certo valor quando
fica muito grande) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, vamos usar conceitos de limite de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da sequência:
. Aqui,
é o termo da sequência, e
alterna entre 1 e -1 conforme
é par ou ímpar. Isso pode fazer a gente pensar que a sequência pode oscilar, mas vamos analisar melhor.
Passo 3
Para facilitar, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
. Isso ajuda a ver o comportamento quando
cresce muito:
Passo 4
Agora, observamos que
fica cada vez menor conforme
aumenta, porque o numerador é alternado entre 1 e -1, mas o denominador cresce sem limite. Portanto, quando
tende ao infinito:
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão simplificada, temos:
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
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