Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência tem um limite quando aumenta indefinidamente (ou seja, se ela converge) ou se não tem um valor específico para o qual ela se aproxima (o que seria divergente). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e ver como os termos se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos e no denominador . Queremos entender como cada parte se comporta quando fica bem grande.

Passo 3

A função sempre dá valores entre -1 e 1, independente de quão grande seja . Então, conforme cresce, fica praticamente insignificante comparado com . Ou seja, no numerador, o termo que realmente importa é .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por . Isso ajuda a identificar quais termos têm mais peso quando tende ao infinito:
Aqui, e são termos que vão se comportar de forma diferente conforme cresce.

Passo 5

Agora, observamos o que acontece quando vai para o infinito:
  • : Como está entre -1 e 1, ao dividir por que cresce sem limite, esse termo tende a 0.
  • : Claramente, dividindo 1 por um número que cresce sem fim, esse termo também tende a 0.

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão simplificada, temos:
Isso mostra que, conforme aumenta, se aproxima de .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.