Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência tem um limite quando
aumenta indefinidamente (ou seja, se ela converge) ou se não tem um valor específico para o qual ela se aproxima (o que seria divergente). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e ver como os termos se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos
e no denominador
. Queremos entender como cada parte se comporta quando
fica bem grande.
Passo 3
A função
sempre dá valores entre -1 e 1, independente de quão grande seja
. Então, conforme
cresce,
fica praticamente insignificante comparado com
. Ou seja, no numerador, o termo que realmente importa é
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
. Isso ajuda a identificar quais termos têm mais peso quando
tende ao infinito:
Aqui,
e
são termos que vão se comportar de forma diferente conforme
cresce.
Passo 5
Agora, observamos o que acontece quando
vai para o infinito:
-
: Como está entre -1 e 1, ao dividir por que cresce sem limite, esse termo tende a 0. -
: Claramente, dividindo 1 por um número que cresce sem fim, esse termo também tende a 0.
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão simplificada, temos:
Isso mostra que, conforme
aumenta,
se aproxima de
.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
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