Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a sequência converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de sequências e limites na matemática. Pra resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e simplificar para achar o limite quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da sequência. Olha só, temos . Isso pode ser complicado de lidar diretamente, então vamos multiplicar e dividir por para eliminar a raiz. Isso é chamado de multiplicação pelo conjugado.

Passo 3

Fazendo a multiplicação pelo conjugado, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta na sequência original:

Passo 5

Vamos dividir o numerador e o denominador por para facilitar o cálculo do limite quando vai para o infinito:

Passo 6

Agora, analisando o limite quando tende a infinito. Sabemos que tende a zero, então:

Passo 7

Substituindo de volta, temos:

Resposta

A sequência converge para .

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