Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a sequência
converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de sequências e limites na matemática. Pra resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e simplificar para achar o limite quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da sequência. Olha só, temos
. Isso pode ser complicado de lidar diretamente, então vamos multiplicar e dividir por
para eliminar a raiz. Isso é chamado de multiplicação pelo conjugado.
Passo 3
Fazendo a multiplicação pelo conjugado, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa simplificação de volta na sequência original:
Passo 5
Vamos dividir o numerador e o denominador por
para facilitar o cálculo do limite quando
vai para o infinito:
Passo 6
Agora, analisando o limite quando
tende a infinito. Sabemos que
tende a zero, então:
Passo 7
Substituindo de volta, temos:
Resposta
A sequência
converge para
.
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