Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma sequência definida por:
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular o limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatorial e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que o fatorial de é igual a . Então, podemos reescrever o numerador:
Substituindo na expressão de :

Passo 3

Vamos fatorar o do numerador:
Agora, vamos simplificar o denominador . Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Os no numerador e denominador se cancelam:
Agora, vamos expandir o numerador:
Então:

Passo 5

Para encontrar o limite quando tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é (já que resulta em mais termos de menor grau).
Então, o comportamento da sequência para grande é aproximadamente:
Sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito.

Passo 6

Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é 0. Isso significa que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é:

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