Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma sequência definida por:
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular o limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatorial e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que o fatorial de
é igual a
. Então, podemos reescrever o numerador:
Substituindo na expressão de
:
Passo 3
Vamos fatorar o
do numerador:
Agora, vamos simplificar o denominador
. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Os
no numerador e denominador se cancelam:
Agora, vamos expandir o numerador:
Então:
Passo 5
Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador. No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador é
(já que
resulta em
mais termos de menor grau).
Então, o comportamento da sequência para
grande é aproximadamente:
Sabemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito.
Passo 6
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0. Isso significa que a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é:
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