Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o seu limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites, funções trigonométricas e propriedades de sequências.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência conforme tende ao infinito. Observamos que o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Portanto, temos:
Multiplicando todos os termos por (que é positivo para ):

Passo 4

Agora, dividimos essa desigualdade pelo denominador :
Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular o limite das expressões que formam os limites inferior e superior:
Dividindo numerador e denominador por :
Portanto:
E similarmente:

Passo 6

Utilizamos agora o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que nos diz que se está “presa” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então também converge para esse limite.
Como vimos que:
E ambos os limites extremos são 0, concluímos que:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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