Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o seu limite. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites, funções trigonométricas e propriedades de sequências.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência conforme
tende ao infinito. Observamos que o numerador é e o denominador é
.
Passo 3
Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Portanto, temos:
Multiplicando todos os termos por
(que é positivo para
):
Passo 4
Agora, dividimos essa desigualdade pelo denominador
:
Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular o limite das expressões que formam os limites inferior e superior:
Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto:
E similarmente:
Passo 6
Utilizamos agora o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que nos diz que se
está “presa” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então
também converge para esse limite.
Como vimos que:
E ambos os limites extremos são 0, concluímos que:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é 0.
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