Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como identificar termos dominantes em expressões com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos no numerador e no denominador da nossa sequência. No numerador, temos
, e no denominador, temos
. Quando trabalhamos com limites de sequências que envolvem potências, é importante identificar qual termo cresce mais rápido à medida que
aumenta.
Passo 3
Vamos comparar as bases das potências no denominador: 2 e 10. Como
, sabemos que
vai crescer muito mais rápido que
conforme
aumenta. Isso significa que, no denominador, o termo
será o que mais vai influenciar o valor da expressão conforme
fica grande.
Passo 4
Com essa observação, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
, que �� o termo dominante no denominador. Assim:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração com exponents à medida que
tende ao infinito:
-
: Como , esse termo tende a 0. -
: Da mesma forma, , então esse termo também tende a 0.
Passo 6
Substituindo esses limites na nossa expressão simplificada, temos:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.