Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como identificar termos dominantes em expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos no numerador e no denominador da nossa sequência. No numerador, temos , e no denominador, temos . Quando trabalhamos com limites de sequências que envolvem potências, é importante identificar qual termo cresce mais rápido à medida que aumenta.

Passo 3

Vamos comparar as bases das potências no denominador: 2 e 10. Como , sabemos que vai crescer muito mais rápido que conforme aumenta. Isso significa que, no denominador, o termo será o que mais vai influenciar o valor da expressão conforme fica grande.

Passo 4

Com essa observação, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por , que �� o termo dominante no denominador. Assim:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração com exponents à medida que tende ao infinito:
  • : Como , esse termo tende a 0.
  • : Da mesma forma, , então esse termo também tende a 0.

Passo 6

Substituindo esses limites na nossa expressão simplificada, temos:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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