Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente analisar a sequência , onde . Precisamos descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de algum número conforme cresce) ou diverge (cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no caso especial onde . Substituindo na sequência, temos:
Aqui, . Sabemos que, conforme aumenta, também aumenta sem parar. Portanto, quando , a sequência diverge para .

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso em que . Nesse intervalo, é uma função que tende a zero conforme cresce. Mas temos também o fator , que está multiplicando e está crescendo. Precisamos descobrir qual dos dois efeitos domina: o crescimento de ou a diminuição de .

Passo 4

Para isso, vamos usar uma técnica chamada regra de L’Hôpital, que ajuda a calcular limites de formas indeterminadas como ou . Vamos reescrever a sequência de forma que possamos aplicar essa regra:
Observe que porque . Agora, calculamos o limite:
Aqui, o denominador cresce exponencialmente muito mais rápido que o numerador, que cresce apenas linearmente. Assim, o limite é:
Então, quando , a sequência converge para 0.

Passo 5

Por último, vamos considerar o caso onde . Nesse cenário, cresce exponencialmente à medida que aumenta. Multiplicando por , temos:
Como já está crescendo muito rápido, multiplicar por só acelera esse crescimento. Portanto, a sequência tende a , ou seja, diverge.

Resposta

A sequência converge para 0 quando e diverge para quando .

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Mostre que: ;