Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente analisar a sequência
, onde
. Precisamos descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de algum número conforme
cresce) ou diverge (cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no caso especial onde
. Substituindo na sequência, temos:
Aqui,
. Sabemos que, conforme
aumenta,
também aumenta sem parar. Portanto, quando
, a sequência diverge para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso em que
. Nesse intervalo,
é uma função que tende a zero conforme
cresce. Mas temos também o fator
, que está multiplicando
e está crescendo. Precisamos descobrir qual dos dois efeitos domina: o crescimento de
ou a diminuição de
.
Passo 4
Para isso, vamos usar uma técnica chamada regra de L’Hôpital, que ajuda a calcular limites de formas indeterminadas como
ou
. Vamos reescrever a sequência de forma que possamos aplicar essa regra:
Observe que
porque
. Agora, calculamos o limite:
Aqui, o denominador cresce exponencialmente muito mais rápido que o numerador, que cresce apenas linearmente. Assim, o limite é:
Então, quando
, a sequência
converge para 0.
Passo 5
Por último, vamos considerar o caso onde
. Nesse cenário,
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Multiplicando por
, temos:
Como
já está crescendo muito rápido, multiplicar por
só acelera esse crescimento. Portanto, a sequência
tende a
, ou seja, diverge.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
e diverge para
quando
.
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Mostre que:
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