Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos precisar dos conceitos de limites de sequências e das propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo . Sabemos que quando
se aproxima de zero, pode ser aproximado por
(isso é conhecido como a aproximação de Taylor). Portanto, para
muito grande,
é muito pequeno, e podemos escrever:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão de
, temos:
Isso sugere que o limite de
pode ser zero. Porém, vamos refinar essa análise para garantir a precisão.
Passo 4
Considerando o desenvolvimento mais preciso da função seno, temos:
Aplicando
, obtemos:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
À medida que
tende ao infinito,
tende a zero, e os termos de ordem maior (
) também tendem a zero.
Resposta
A sequência é convergente, e o seu limite é
.