Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = n - n^2 sen(1/n)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos precisar dos conceitos de limites de sequências e das propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . Sabemos que quando se aproxima de zero, pode ser aproximado por (isso é conhecido como a aproximação de Taylor). Portanto, para muito grande, é muito pequeno, e podemos escrever:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão de , temos:
Isso sugere que o limite de pode ser zero. Porém, vamos refinar essa análise para garantir a precisão.

Passo 4

Considerando o desenvolvimento mais preciso da função seno, temos:
Aplicando , obtemos:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
À medida que tende ao infinito, tende a zero, e os termos de ordem maior ( ) também tendem a zero.

Resposta

A sequência é convergente, e o seu limite é .

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