Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas sequências numéricas,
e
. A afirmação para analisar é: "Se
converge para
e
para todo
, então
". Vamos precisar entender sobre limites de sequências e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
converge para
. Isso quer dizer que, conforme
fica bem grande, os termos da sequência
se aproximam cada vez mais do valor
.
Passo 3
Agora, a condição
para todo
significa que todos os termos da sequência são menores ou iguais a zero. Nenhum termo é positivo.
Passo 4
Vamos pensar no limite. Se todos os
são menores ou iguais a zero, e
se aproxima de
, então
também não pode ser positivo. Se fosse, os
teriam que ultrapassar zero para chegar a um valor positivo, o que contraria
.
Passo 5
Portanto, o limite
deve ser menor ou igual a zero para manter a consistência com todos os
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
para todo
, então
.
Exercícios relacionados
Mostre que:
;
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então ou
ou
Mostre que:
;