Sejam (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se an -> a e a_n <= 0 então a <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas sequências numéricas, e . A afirmação para analisar é: "Se converge para e para todo , então ". Vamos precisar entender sobre limites de sequências e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que converge para . Isso quer dizer que, conforme fica bem grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais do valor .

Passo 3

Agora, a condição para todo significa que todos os termos da sequência são menores ou iguais a zero. Nenhum termo é positivo.

Passo 4

Vamos pensar no limite. Se todos os são menores ou iguais a zero, e se aproxima de , então também não pode ser positivo. Se fosse, os teriam que ultrapassar zero para chegar a um valor positivo, o que contraria .

Passo 5

Portanto, o limite deve ser menor ou igual a zero para manter a consistência com todos os .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e para todo , então .

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