Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência , onde , é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências e raízes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. A raiz enésima pode ser representada como uma potência: .

Passo 3

Agora, observe que , então cresce mais rápido que conforme aumenta. Isso significa que, para valores grandes de , vai dominar a soma .

Passo 4

Vamos fatorar de dentro da potência:
Aqui, dividimos ambos os termos dentro da raiz por , que é o termo dominante.

Passo 5

Agora, analisamos o limite da expressão dentro do parêntese:
Como , tende a zero quando tende ao infinito. Então, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1.

Passo 6

Portanto, temos:
Isso porque qualquer número fixo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo que estava na frente:

Resposta

A sequência é convergente e o limite é .

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