Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência
, onde
, é convergente ou divergente. Para isso, vamos calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências e raízes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. A raiz enésima pode ser representada como uma potência:
.
Passo 3
Agora, observe que
, então
cresce mais rápido que
conforme
aumenta. Isso significa que, para valores grandes de
,
vai dominar a soma
.
Passo 4
Vamos fatorar
de dentro da potência:
Aqui, dividimos ambos os termos dentro da raiz por
, que é o termo dominante.
Passo 5
Agora, analisamos o limite da expressão dentro do parêntese:
Como
,
tende a zero quando
tende ao infinito. Então, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1.
Passo 6
Portanto, temos:
Isso porque qualquer número fixo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo
que estava na frente:
Resposta
A sequência é convergente e o limite é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
então
.
Mostre que:
;
Mostre que:
;
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.